Logarithmusfunktion bestimmen

Erste Frage Aufrufe: 146     Aktiv: 26.02.2022 um 23:56

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Hi,
das Problem, das es zu lösen gilt kommt aus dem medizinischen Bereich:
Es geht um die Belegung von Serotonin-Transportern im Nervensystem durch Medikamente.
Ich würde gerne die Medikamenten-Dosen in Abhängigkeit der Transporter-Belegung in 5% Schritten errechnen, bin aber mit meinen mathematischen Fähigkeiten nicht in der Lage. Folgende Infos habe ich in der zugehörigen Studie gefunden:

"The data were fit by using an equation of the form f(x)=a(x/[b+x]). The relationship between dose and occupancy was highly significant: f(x)=92(x/[b+x]) (F=127.38, df=1, 16, p<0.0001)."

3,4mg für 50% Transporter-Belegung
20mg für 81% Transporter-Belegung

Hier ist der Link zur Studie:
https://ajp.psychiatryonline.org/doi/full/10.1176/appi.ajp.161.5.826

Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen!!!
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Moin,
da die Studie die allgemeine Gleichung schon gegeben hat, musst du nur noch die Werte einsetzen und das Gleichungssystem lösen: \(0,5=a\cdot \frac{3,4}{b+3,4}\) und \(0,81=a\cdot \frac{20}{b+20}\). Als Ergebnis erhält man a=0,93 und b=2,91. Die Werte ergeben im Zusammenhang mit der Studie Sinn, da ein bei sehr hoher Dosis ein Plateau erreicht wurde (in deinem Fall 93%), was einer mathematischen horizontalen Asymptote entspricht. Für andere Daten nimmst du dir erneut die Formel und löst das Gleichungssystem, um eine gute Approximation für den Zusammenhang zu erhalten.
LG
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Student, Punkte: 2.02K

 

Danke für die Antwort!   ─   user2d074f 26.02.2022 um 19:15

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Hier werden keine Gleichungssysteme gelöst.
Bleiben wir mal bei Figure 1:
Hier wurde auf Basis der Studiendaten (18 Patienten = 18 (x,y) Datenpaare) ein nichtlinearer Ausgleich durchgeführt (-> Methode der kleinsten Fehlerquadrate). Dies führt beim Ansatz $f(x)=\frac{a\,x}{b +x}$ zu optimalen Parametern $a,b$ (optimal heißt, die Kurve läuft bestmöglich durch das Datenfeld hindurch). Hier erhält man $a=92$ (laut Paper). Warum hier kein $b$ angegeben ist, weiß ich auch nicht.
Wenn Du nun %-Werte vorgibst und suchst dazu die Dosis-Werte entsprechend der Kurve, heißt das, Du hast $y$ gegeben und suchst dazu $x$. Du brauchst also die Umkehrfunktion von $f$. Berechne diese also und setze dann Deine Prozentzahlen ein.
Mit Logarithmen hat das ganze nichts zu tun, oder wie kommst Du darauf?
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Vielen Dank für die Antwort!!
Vom Graphen hatte ich gedacht, dass es eine Logarithmusfunktion sein müsse und mit der angegebenen Gleichung bin ich nicht zurechtgekommen. Ich arbeite im medizinischen Bereich (mit recht wenig Ahnung was Mathematik angeht) und es geht darum, dass Patienten Antidepressiva bestmöglich ausschleichen können. Nach der Studie ist es nicht sinnvoll bspw. in 5mg Schritten abzusetzen, da z.B. der Schritt von 5mg auf 0mg eine Reduktion der Transporter Belegung um ca. 60% bedeuten würde und heftige Symptome (wie es im Praxisalltag leider üblich ist) nach sich ziehen kann, teilweise lebensbedrohlich.
Ich bin daher absolut dankbar, wenn Sie mir helfen könnten b zu bestimmen! Von Limes habe ich leider keinen Schimmer...
  ─   user2d074f 26.02.2022 um 19:15

Die Funktion ist ja explizit angegeben, da steht nichts von Logarithmus drin. Die ist allerdings merkwürdig geschrieben, von den Klammern her, daher hab ich sie Dir schon ordentlich aufgeschrieben.
  ─   mikn 26.02.2022 um 19:26

Okay, dann ist b = 1,045 (wenn ich 88% annehme). Allerdings widerspricht das den Berechnungen von fix 🤔
  ─   user2d074f 26.02.2022 um 19:41

Tja, Du musst schon selbst mitdenken und Dir Dein Urteil bilden.
fix hat die von Dir angegebenen beiden Werte (3.4mg usw.) genommen und durch diese beiden Werten exakt die Kurve durchgelegt. Das ist definitiv nicht das, was in dem Paper gemacht wurde. Ich bin auch davon ausgegangen, dass die von Dir angegebenen Werte (3.4mg usw.) nur Beispiele waren für das, was Du systematisch berechnen willst (ohne einzeln abzulesen).
  ─   mikn 26.02.2022 um 19:53

Mit einem b von 2,86 bekomme ich Werte, die am nächsten an den Schätzungen liegen bzw. an dem Graphen. Mit einem b = 1,045 kommt nur Unfug heraus...
  ─   user2d074f 26.02.2022 um 20:01

Ich hab gesagt, wovon ich ausgegangen bin. Stimmt das nun oder nicht? Woher hast Du die Werte (3.4, 50), (20,81)?
Ich rede auch nur von Figure 1, das linke Bild.
Achso, mit dem a/b hab ich Unsinn geredet. Der asymptotische Wert ist a, also 92 bzw. 0.92.
Das b muss man anders bestimmen. Z.B. aus einem abgelesenen Wert. Das kann man dann prinzipiell so machen wie in fix' Antwort, mit dem Unterschied, dass wir ja a schon kennen und nur noch b brauchen. Wobei man damit rechnen muss, dass für jeden abgelesenen Wert ein etwas anderes b rauskommt.
  ─   mikn 26.02.2022 um 20:14

Die Werte stammen auch aus dem Paper, sind aber Schätzungen.
Ich weiß leider nicht, wie man es genau berechnet, sodass die Werte halbwegs zu den Schätzungen passen.
Deswegen habe ich jetzt fix Lösung verwendet. Allerdings würde es mich interessieren, wie die genaue Berechnung aussehen würde.
  ─   user2d074f 26.02.2022 um 20:22

Hab meinen Kommentar noch editiert. Was meinst Du mit "genaue" Berechnung? Was willst Du berechnen aus was für Werten?   ─   mikn 26.02.2022 um 20:26

Ah okay, jetzt verstehe ich es besser. Ich habe für a = 92 angenommen und b mittels der Schätzung 3,4mg bei 20% bestimmt. Da bekomme ich für b = 2,86 heraus und das klappt gut (und das ist dann wohl auch die etwas genauere Berechnung).
Danke für die Mühe!
  ─   user2d074f 26.02.2022 um 20:41

Ja, dieses Datenpaar gibt b=2.856. Das andere gibt b=2.716. Also je nach Daten ein etwas anderes b. Welches das b ist, was im Paper für die Kurve verwendet wurde, wissen nur die Autoren. Wenn der Wert wichtig ist, würde ich die einfach fragen.   ─   mikn 26.02.2022 um 21:49

also genau das, was ich geschrieben habe...   ─   fix 26.02.2022 um 23:51

Nein, nicht genau das. Weil Du das a auch aus den Daten per LGS bestimmt hast, das ist nicht sinnvoll, weil nicht nötig. Ist alles oben erklärt.
Es geht auch nicht darum einen neuen Zusammenhang zu finden, sondern den aus dem Paper zu rekonstruieren.
  ─   mikn 26.02.2022 um 23:53

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