Polynomfunktion Textaufgabe Part 1 von 7

Aufrufe: 663     Aktiv: 02.01.2022 um 01:02
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Guten Tag,

ich verstehe nicht wie ich diese Aufgabe lösen kann. Das mit Gewinn usw verwirrt mich irgendwie. Wie soll ich beschreiben ob die Funktion richtig beschrieben worden ist?
Punktprobe sagen Sie? Naja, die Werte die mir oben gegeben worden sind sehen mir mehr nach einer Geraden aus, welches ich nichts anfangen kann.
Aufgabenstellung:
1 Die Fixkosten für die Produktion einer Ware belaufen sich auf 300 Geldeinheiten (GE). Werden 10 Mengeneinheiten (ME) der Ware hergestellt, erhöhen sich die Gesamtkosten um 300 GE. Bei 20 ME betragen die Gesamtkosten 900 GE. Prüfen Sie, ob die Gesamtkosten durch die Kostenfunktion K mit -L 3- 3x2 + 50x + 300 richtig beschrieben werden. KOC) = 10 x Bestimmen Sie den mittleren Kostenzuwachs in GE pro ME im Intervall (O; 101. Der Verkaufspreis pro ME wird auf 60GE festgelegt. Zeigen Sie, dass im Bereich [11; 291 mit Gewinn produziert wird.

Mein versuch


Mein Versuch;

EDIT vom 31.12.2021 um 14:59:

Bemerke gerade das die andere Aufgabe mir auch schwer fallen tut...
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Student, Punkte: 628

 
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Tatsächlich liegen die drei Punkte auf einer Geraden.
Aber das ist mehr oder weniger Zufall - die Funktion wurde so gewählt, dass das mit diesen Zahlen klappt.
(Anmerkung: Du kannst ja durch eine Funktion dritten Gerades immer eine Gerade mit drei Schnittpunkten zeichnen.)

Die Aufgabe "Prüfen Sie, dass die Gesamtkosten..." ist schlecht gestellt.
besser wäre "Prüfen Sie, ob die Kostenfunktion... die drei genannten Gesamtkostenwerte erfüllt."
Denn was zwischen den Punkten passiert, ist ja nicht vorgegeben - dementsprechend kann man nicht prüfen, ob die Kostenfunktion erfüllt, was man nicht kennt....

Deshalb könnte man auch die Geradengleichung durch die drei Punkte hinschreiben, und die gleiche (nicht so gute) Aufgabenstellung würde immer noch funktionieren (weshalb sie nicht gut formuliert ist)...


Zum Gewinn: Man macht Gewinn, wenn die Einnahmen größer sind als die Kosten.
Kommst Du mit diesem Tipp weiter? (Einnahmen und Kosten sind ja in der Aufgabe beschrieben)
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Wie kann ich aber den mittleren Kostenzuwachs bestimmen?   ─   ceko 31.12.2021 um 14:20
wie es aussieht 300/10 = 30 ist die mittlere Gesamtkostenänderung?   ─   ceko 31.12.2021 um 14:30
Und für was braucht man die mittlere Gesamtkostenänderung im Betrieb - abgesehen von der Aufgabe jetzt   ─   ceko 31.12.2021 um 14:38
Wie habe ich das mit "Gewinn" lösen können? - mein neuester Edit   ─   ceko 31.12.2021 um 15:00
Danke für die Antwort.   ─   ceko 31.12.2021 um 16:15
Du musst Dir nochmal über die Begriffe klar werden, denn das scheint mir das Problem zu sein.

Ich komme nochmal auf den zweiten Teil zurück (der richtig gerechnet wurde), um auf die Begriffe einzugehen.
"mittlere Gesamtkostenänderung"...
Was bedeutet "mittel"? Damit ist eine Zahl gemeint, die "irgendwo in der Mitte liegt". Verschiedene Modelle haben da verschiedene Methoden. Zum Beispiel berechnet man einen mittleren Jahreszins anders als eine mittlere Entfernung.

Hier geht es um den "Zuwachs" (in dieser Aufgabe GE) geteilt durch die "Spanne" (hier: Stückzahl) in der der Zuwachs erzielt wird. Sollte man auch so notieren.
Also: Kostenzuwachs 600-300 = 300 Geldeinheiten bei Erhöhung der Produktion um 30-0 = 30. Man rechnet also immer "nachher minus vorher".

Beim letzten Teil:
Was berechnest Du denn, wenn Du die Gesamtkosten durch die Menge dividierst? Es ist keine(!!!) Gesamtkostensteigerung. Denn Du rechnest hier gar nicht Zuwachs geteilt durch Spanne, sondern....?

Denk mal darüber nach und schreibe Deine Überlegung dazu.   ─   joergwausw 31.12.2021 um 18:04
lassen Sie mich es Ihnen erklären ob ich jetzt richtig liege.

Der Gewinn lässt sich berechnen durch $G(x) = E(x) - K(x)$ Da ich für den Intervall [11, 29] wahrscheinlich einen Gewinn mache, muss diese mittlere Änderung 30 sein. Das heißt 10 Waren benötigen 300€ Gesamtkosten, also eine Ware benötigt 30€. Der Erlös beschreibt wie viel ich für die Ware einnehmen tue. In diesem Falle wird dieser für 60 pro ME verkauft, also habe ich doch für den Gewinn $G(x) = 60€ - 30€$ ?   ─   ceko 31.12.2021 um 18:34
Du berechnest hier keine mittlere Änderung.
Wenn Du 662,7/13 rechnest, dann ist das der durchschnittliche Stückpreis (Gesamtkosten durch Anzahl).

Du kannst die Rechnung entweder für die Gesamtsumme machen (Ich nehme insgesamt bei 13 verkauften Stück so viel Geld ein und subtrahiere die Kosten) oder Du machst die Rechnung pro Stück (mit dem Durchschnittspreis, wobei dann auch alle verkauft werden müssen, damit man tatsächlich Gewinn macht).
Im ersten Fall kann man einfacher ausrechnen, wie viel Stück man verkaufen muss, damit man Gewinn macht (die Aufgabe schreibt gar nicht, dass angenommen wird, dass alle auch verkauft werden...)

Mir ist letztlich nicht klar, welche Methoden zur Verfügung stehen, um die Behauptung für alle Stückzahlen zwischen 11 und 29 hinreichend zu zeigen. Alles durchprobieren? Ansonsten: Schaubild zeichnen... das kommt aber letztlich auf das gleiche heraus, weil alle Funktionswerte berechnet werden müssen.
Ansonsten: die Aufgabe scheint mir sowieso so gestellt zu sein, dass hier nicht mathematisch exakt, sondern "plausibel" gearbeitet werden soll...   ─   joergwausw 31.12.2021 um 18:50
Okey ich werde so in 10-20Minuten ein Edit hochladen ich habs verstanden. Und dann ist die Aufgabe erledigt   ─   ceko 31.12.2021 um 18:58
Sie sagen mir dann kurz ob das passt   ─   ceko 31.12.2021 um 18:59
Genau das ist ja der Punkt: Wie zeigst Du, dass die Gewinnfunktion im ganzen Intervall positiv ist, wenn Du nicht einmal die Schnittpunkte exakt bestimmen kannst (Gleichung dritten Grades, nur WTR)?
Da kommen zwar glatte Zahlen raus, aber die muss man auch erstmal ausprobieren.
(und wurde das Stetigkeits-Argument, dass dann zwischen den Nullstellen nur ein Wert ausprobiert werden muss, schon behandelt?)

Oder habe ich hier eine einfache Lösung verpasst?   ─   joergwausw 01.01.2022 um 07:22
Aufgaben aus der Schulmathematik sind bei: Zeigen Sie (fast, das dient nur zur Absicherung ;) immer durch Einsetzen gegebener Werte zu lösen. Ein Mathestudium, das alle möglichen Voraussetzungen prüft, könnte da hinderlich wirken. Positive Werte kann man (das verstehen die meisten) durch Einsetzen eines xWertes aus dem Inneren des Intervalls zeigen, oder durch den VZW bei den Nullstellen. Dass dazwischen keine Nullstelle mehr existiert, dürfen die Schüler dann voraussetzen und müssen es nicht nachweisen.   ─   honda 01.01.2022 um 16:36
Ich finde, dass das Einsetzen von 15 und die Behauptung, dass dann das ganze Intervall von 11 bis 29 positiv ist, keine hinreichende Lösung (ich überspitze mal die Rückmeldungen).
Auch zusätzlich zu zeigen, dass bei 10 und 30 zwei Nullstellen der Gewinnfunktion sind, reicht nicht. Man muss begründen, dass die dritte Nullstelle nicht dazwischen liegt.
Auf den Globalverlauf bin ich auch gekommen - aber liegt das dem Schüler nahe?

Sich das alles klar zu machen und richtig aufzuschreiben, halte ich insgesamt für komplizierter, als "mal eben" alle ganzen Zahlen von 11 bis 29 durchzuprobieren (in der Annahme, dass es sich um Stückgut handelt).

@"dürfen die Schüler dann voraussetzen" - einverstanden, wenn es in der Aufgabe steht. Sonst nicht.
In der heutigen Zeit mit dem GTR sollte es doch gerade darum gehen, dass man seine Rechenergebnisse hinterfragt und begründet absichert. Irgendwas Eintippen kann schließlich jeder.

[habe da mal was Schulfremdes zweitkorrigieren müssen - es ging um das Maximum eines Integrals. Fast alle Schüler haben kommentarlos die Wendestelle bestimmt (und nicht begründet die Nullstelle mit VZW). War zufällig der gleiche x-Wert. Der Erstkorrektor hat volle 10 Punkte gegeben... dabei war nicht mal der Ansatz richtig. Aber es kam ja das richtige x heraus... - 10 Punkte von 100 sind übrigens zwei Notenstufen - ich durfte mit dem Erstkorrektor keinen Kontakt aufnehmen - man kann natürlich immer "hat der Prüfling doch gemeint" argumentieren....]   ─   joergwausw 01.01.2022 um 18:10
@cauchy: Ich stimme dem Lösungsweg ja zu. Aber er ist nicht weniger kompliziert als Ausprobieren (und Polynomdivision ist für Schüler heutzutage nicht mehr einfach, wenn sie nicht mal Zahlen unfallfrei schriftlich dividieren können, was ich leider oft beobachten muss).

Zur Korrektur noch ein Beispiel: Ich musste auch mal eine 1+ kaputtschießen, die der Erstkorrektor geben wollte. Es wurden, unverständlicherweise, volle Punkte für eine "Zeigen Sie"-Aufgabe vergeben. Die richtigen Zahlen wurden zwar in die richtigen Gleichungen eingesetzt. Einer der Werte wurde aufgrund eines Rechenfehlers falsch ausgerechnet, was dazu führte, dass das zu zeigende eben gar nicht gezeigt war. Das Problem: es gab in der ganzen Aufgabe (eigentlich sogar in der ganzen Klausur) keinen einzigen kommentierenden Satz. Konkret fehlte die Information (weder ausformuliert noch als Gleichung notiert), was denn in der Aufgabe überhaupt hätte gleich sein müssen (und erst recht fehlte ein Kommentar, dass die berechneten Ergebnisse die zu erwartende Gleichheit nicht hergeben - wenn das beides gewesen wäre, wäre ich mit vollen Punkten einverstanden - Rechenfehler können in der Aufregung passieren). Erstkorrektor: "Es ist erkennbar, dass Prüfling weiß, wie es geht"... Ja, aber das sind keine vollen Punkte, und so ganz ohne Darstellungsleistung auch in vielen anderen Aufgaben, kann die Klausur dann insgesamt nicht 1+ sein, das widerspricht dem Gesamteindruck. Dafür erwarte ich auch Darstellung, nicht nur Rechnen.

So, genug gebasht.   ─   joergwausw 01.01.2022 um 20:18
Wenn die Nst bei 10 einen Vzw von - nach + und bei 30 umgekehrt aufweist, müsste es ja auch genügen. Für eine Aufgabe, die Zahlenwerte zum Einsetzen vorgibt, erscheint mir das Ermitteln einer dritten Nullstelle zu aufwändig.   ─   monimust 01.01.2022 um 20:26
@cauchy: naja, die 13 wurde ja in obiger Lösung schon getestet. Wie würde man da weitermachen?

monimust hat ja auch nicht unrecht. Mit vier Werten kommt man hin, wenn man dann hinschreibt, dass die einzige mögliche dritte Nullstelle nicht dazwischen liegen kann.   ─   joergwausw 01.01.2022 um 20:43
Also ich gehe (wie honda) von üblichen Fragestellungen im Schulbetrieb aus und von üblichen Bewertungen durch Lehrer (etwas anderes interessiert den üblichen Schüler auch gar nicht).
Der soll etwas zeigen. Daher setzt er (wie auswendig gelernt) die gegebenen Zahlenwerte (Intervallgrenzen).ein und stellt fest, der Gewinn ist positiv. Jetzt muss er nur noch auf die richtige Idee kommen, zwei vorher/nachher auf negativ zu testen. Das ist doch kein Aufwand im Vergleich zur PD (die auch nicht jeder lernt, obwohl ihm gleichlautende Aufgaben vorgesetzt werden) Der gute Schüler begründet jetzt noch sein Vorgehen und stärkt damit seinen Eindruck, die 15 Punkte verdient zu haben, bei den andern wird die Antwort dennoch als richtig gewertet, Auf VZW zu kommen ist an sich schon eine Meisterleistung, die meisten werden wohl nur zeigen, dass ein Wert im Intervall positiv ist. Und auch das dürfte als richtig ausreichen. Sollte nicht, ist aber so 😉
(Hast du mal gesehen , was als Konstruktionsbeschreibung durchgeht? Ich mach mir den Spaß und konstruiere Dreiecke danach, die bestehen dann aus einzelnen Streckenzügen. Leider können die Schüler mangels Verständnis den Spaß nie mit mir teilen und mein Aufklärungswille stößt empfindlich an die Grenze, dass die Lehrerin das Machwerk für richtig erklärt hat)   ─   monimust 01.01.2022 um 23:06
Ich sehe das so wie monimust.
Dass die eine Nullstelle sofort klar ist, war ja nicht der Punkt. Die Polynomdivision dürfte das Problem sein.

Auf VZW kommen die Schüler dann schnell, wenn man Extrempunkte gemacht hat. Das allerdings auf die Funktion selbst anzuwenden kommt schlicht nicht so häufig vor.
(und ja, ich ziehe Punkte ab, wenn das hinreichende Kriterium mit 2.Ableitung gemacht wird und die Bedingung nicht richtig aufgeschrieben wird - bei mir gibt es aber in einer Klausur immer genug Punkte, damit das geht... Problem im Abitur ist ja, dass für eine hinreichende Extremstellenberechnung(!) (es gab nur eine) maximal 5 ganze Punkte gegeben werden, also Ansatz notwendig, ableiten, lösen und hinreichender Ansatz, dann entweder VZW einsetzen und deuten oder 2.Ableitung bestimmen und einsetzen und deuten... da hat man keine Lust, 20% der Punkte für einen kleinen formalen Blödsinn abzuziehen, wenn sonst alles richtig ist... die müssten die maximale Punktzahl verdoppeln oder halbe Punkte zulassen)

Ich stelle mich im Unterricht auch schon mal an die Tafel und mache genau das live, was die Schüler bei Konstruktionsbeschreibungen sagen.... die merken dann sofort, was läuft, sind aber schnell frustriert, weil sie es nicht besser formulieren können... da muss man dann erstmal typische Formulierungen verteilen, die benutzt werden sollen...   ─   joergwausw 02.01.2022 um 01:02

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