habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiterkommen:
Sei \( K \) ein Körper.
Ist die Abbildung \( f: \operatorname{Mat}_{K}(n \times n) \rightarrow \operatorname{Mat}_{K}(n \times n) \) definiert durch \( A \mapsto A^{a d} \) linear?
Meine Überlegung:
Nehme ich mal $n=2$, dann ist:
$$f(\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix})+f(\begin{pmatrix} y_1 & y_2 \\ y_3 & y_4 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} x_1 & -x_3 \\ -x_2 & x_4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} y_1 & -y_3 \\ -y_2 & y_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1+y_1 & -x_3-y_3 \\ -x_2-y_2 & x_4+y_4 \end{pmatrix}=f(\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} y_1 & y_2 \\ y_3 & y_4 \end{pmatrix})$$
$$\lambda f(\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix})= \lambda \begin{pmatrix} x_1 & -x_3 \\ -x_2 & x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x_1 & -\lambda x_3 \\ -\lambda x_2 & \lambda x_4 \end{pmatrix}=f(\lambda \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix})$$
Das heißt für $n=2$ ist die obrige Abbildung linear. Analoge Überlegungen kann man natürlich auch für $n=3$ treffen und man erhält $f(\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3\\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x_1 & -x_4 & x_7\\ -x_2 & x_5 & -x_8 \\ x_3 & -x_6 & x_9 \end{pmatrix}$
Jetzt würde ich das ganze gerne vereinheitlichen. Problem: Mit jedem weiteren $n$ wird das Verfahren zur Berechnung der Adjunkten auch immer unhandlicher. Was ich mich gefragt habe, ob man irgendwie $A^{ad}+B^{ad}=(A+B)^{ad}$ bzw. $\alpha \cdot A^{ad} = (\alpha A)^{ad}$ zeigen kann?
LG
EDIT vom 01.11.2022 um 19:29:
n=3 bitte ignorieren, das ist falschPunkte: 21
a) Wir wollen zu einer Matrix \( A=\left(\alpha_{i j}\right)_{i, j} \in K^{n \times n} \) die adjungierte Matrix \( A^{\text {ad }} \) erklären. Hierzu konstruieren wir für beliebige Indizes \( i, j \in\{1, \ldots, n\} \) eine \( (n \times n) \)-Matrix \( A_{i j} \) aus \( A \), indem wir alle Elemente \( \alpha_{i 1}, \ldots, \alpha_{i n} \) der \( i \)-ten Zeile und alle Elemente \( \alpha_{1 j}, \ldots, \alpha_{n j} \) der \( j \)-ten Spalte von \( A \) durch 0 ersetzen, bis auf das Element \( \alpha_{i j} \) im Schnittpunkt von \( i \)-ter Zeile und \( j \)-ter Spalte, welches wir zu 1 abändern, also:
\(
A_{i j}=\left(\begin{array}{ccccccc}
\alpha_{11} & \ldots & \alpha_{1, j-1} & 0 & \alpha_{1, j+1} & \ldots & \alpha_{1 n} \\
. . & \ldots & . . & . . & . . & \ldots & . . \\
\alpha_{i-1,1} & \ldots & \alpha_{i-1, j-1} & 0 & \alpha_{i-1, j+1} & \ldots & \alpha_{i-1, n} \\
0 & \ldots & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
\alpha_{i+1,1} & \ldots & \alpha_{i+1, j-1} & 0 & \alpha_{i+1, j+1} & \ldots & \alpha_{i+1, n} \\
. . & \ldots & . . & . . & . . & \ldots & . . \\
\alpha_{n 1} & \ldots & \alpha_{n, j-1} & 0 & \alpha_{n, j+1} & \ldots & \alpha_{n n}
\end{array}\right)
\)
b) Außerdem entstehe die Matrix \( A_{i j}^{\prime} \in K^{(n-1) \times(n-1)} \) durch Streichen der \( i \)-ten Zeile und der \( j \)-ten Spalte von \( A_{i j} \)
c) Es sei $A^{ad} = (\beta_{ij})_{i,j}$ mit $\beta_{ij} = \det(A_{ji})$, die zu A adjungierte Matrix. ─ enrico.delsolos 01.11.2022 um 18:57
Nach der Aufgabenformulierung kann ich ja davon ausgehen, dass die Linearität schon stimmen sollte. Meine Frage war halt, wie ich das allgemeiner zeigen kann. Bzw konkreter, ob halt sowas wie $A^{ad}+B^{ad}=(A+B)^{ad}$ gilt und wenn ja, wie man sowas zeigen kann. ─ enrico.delsolos 01.11.2022 um 19:32