Folgt aus streng fallender Monotonie auch schwach streng fallende Monotonie?

Aufrufe: 253     Aktiv: 21.12.2022 um 18:58
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Hallo liebe mathefragen-Community,

meine Frage ist wie folgt:



Damit die Thematik etwas klarer wird hier ein paar Definitionen:



Mein Ansatz wäre über die einzelnen Vektorkomponenten zu argumentieren. Also wenn die Funktion u streng monoton fallend ist, können die Vektoren y^1 und y^2 aus dem Def.-Bereich Komponentenweise für alle j = 1,...,m auch kleiner sein, da es ja im Prinzip nur min. ein i = 1,...,m mit y^1_i < y^2_i geben muss. Also würde dieser Fall auch mit der Definition der streng fallenden Monotonie abgedeckt werden oder nicht?

Ich würde mich über eine Rückmeldung freuen und ich bedanke mich bedanke mich im voraus!
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2 Antworten
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Das ist häufig bei so "eindeutigen" Sachen, dass man dann nicht so recht weiß wie man es begründen soll. Ich würde zeigen, dass wenn y1<y2, dass dann y1 kleiner gleich y2 ist und man somit dann die Definition der starken Monotonie benutzen kann. y1 kleiner gleich y2 bedeutet ja komponentenweise kleiner gleich und die Vektoren sollen aber verschieden sein. Wir wissen dass y1 Komponentenweise kleiner als y2 ist und damit insbesondere auch kleiner gleich aber verschieden (durch das echte <), dann hast du direkt y1 kleiner gleich y2
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Student, Punkte: 35

 
ahh ja klingt sehr intuitiv, danke! Ja sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr :D Im letzten satz meinst du dann aber y1 strikt kleiner y2 oder? Weil wir ja aus streng fallender Monotonie schwach streng fallende Monotonie implizieren wollen.
   ─   maths123 21.12.2022 um 18:28
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Ne ich meinte das schon so, wenn wir y1 kleiner gleich y2 haben dürfen wir (per Definition) die strenge Monotonie dann auf ihre Bilder unter u anwenden für die zu zeigende Abschätzung.   ─   mathematik0r 21.12.2022 um 18:58

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Hi :)
Das hast du richtig erkannt. Wenn y1 < y2 dann ist nach dieser Definition auch y1 kleiner gleich y2 , da die Komponenten alle echt kleiner sind ist damit y1 ungleich y2.

Würde ja auch kein Sinn machen wenn die "starke" Monotonie nicht die schwächere impliziert.

Lg Tim
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Student, Punkte: 35

 
Hey Tim, danke für deine Antwort. Nur weiß ich leider nicht, wie genau ich das zeigen soll. Habe überlegt das evtl. mit komponentenweisen Intervallen auszudrücken, also dass die Intervalle für streng monoton fallende Funktionen eine Teilmenge oder gleich der Intervalle von schwach monotonen fallenden Funktionen ist.   ─   maths123 21.12.2022 um 17:58

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