Nullstellen komplexer Polynome

Aufrufe: 492     Aktiv: 27.02.2021 um 14:23
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Hallo, 
ich habe diese Aufgabe:

Ich verstehe die Lösung nicht. Ein komplexes Polynom geraden Grades wäre ja x²+1, davon die Nullstelle:
x²+1=0 -> x²=-1 hier gibt es doch auf jeden Fall die Nullstelle i. Im Reellen wäre das nicht lösbar. Aber das ist anscheinend nicht immer wahr? Vielleicht könnte mir jemand mit ein paar Theorie-Regeln für komplexe Polynome weiterhelfen. LG
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In \(\mathbb{C}\) lässt sich ja jedes Polynom in linearfaktoren zerlegen. Insofern reicht es für die aufgabe, sich eine gerade anzahl an linearfaktoren zu überlegen und zu schauen, was für eigenschaften daraus für das polynom folgen.

Sonst ist ja aber keine bedingung gefordert - zum beispiel wäre das polynom \( (x - 1) \cdot (x +1) \) also zulässig. Offensichtlich hat dieses polynom keine nicht-reellen nullstellen.

Auch wäre das polynom \( (x-i) \cdot (x + 25) \) zulässig. Dabei gibt es keine paare von komplex kunjugierten nullstellen. (achtung: hierbei verwenden wir, dass das polynom auch komplexe koeffizienten haben darf, sonst wäre sowas nach irgendeinem satz deiner vorlesung nämlich nicht möglich)

Das polynom \( (x-i)^{10000} \) ist auch zulässig und hat zwar \(i\) ganz schön oft als nullstelle, aber trotz allem keine rellen nullstellen.

Hoffe das löst deine frage auf
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Danke, das habe ich so weit verstanden. Aber nochmal zu der Antwortmöglichkeit "p hat mindestens 1 reelle Nullstelle". Wäre ein gegenbeispiel dafür (x-i)(x+i)? dieses Polynom entspricht ja der Vorschrift aber hat keine reelle Nullstelle, sondern nur 2 komplexe, korrekt? Das heißt wir können für jede Antwortmöglichkeit ein Gegenbeispiel finden?   ─   felix1220 27.02.2021 um 14:08
das wäre ein genauso gutes beispiel wie mein letztes polynom \((x-i)^{10000} \). aber klar, das ginge auch

und richtig - dementsprechend lässt sich für jedes statement ein gegenbeispiel finden   ─   b_schaub 27.02.2021 um 14:23

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Das Missverständnis liegt vielleicht im "immer wahr". Was Du für Dein Beispiel sagst, ist immer wahr für dieses Beispiel. Aber eben nicht für alle Polynome mit der genannten Eigenschaft.
Die Aufgabe lautet also: Welche Aussage gilt für jedes Polynom mit geradem Grad \(\ge 2\)?
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