Komplexe Differenzierbarkeit (Verständnisfrage)

Aufrufe: 42     Aktiv: 22.03.2021 um 21:59

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Wenn man zeigen möchte ob komplexe Funktionen ableitbar sind oder nicht, dann kann man ja einmal mit dem Grenzwert zeigen, das sie in einem bestimmten Punkt existiert und mit den Cauchy Riemannschen DGL ob die ganze Funktion differenzierbar ist. Stimmt das soweit schonmal, falls nicht, bitte verbessert mich? Wenn man aber nun die Jakobimatrix bestimmt und guckt ob die mit den DGL übereinstimmen, dann habe ich ja schon abgeleitet, also ist die Jakobimatrix dann überhaupt die komplexe Ableitung oder doch die reelle? Das verwirrt mich ein wenig, kann mich jemand erleuchten?
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Meist kannst Du am einfachsten überall direkt den Grenzwert betrachten: \[f'(z)=\lim_{w\to z}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}.\] Dort, wo er existiert, ist die Funktion komplex differenzierbar. Allerdings sind die CRDGL in der Theorie und für geometrische Überlegungen relevant, und wenn die Funktion nicht direkt als Funktion von \(z\) sondern vom Real- und Imaginärteil angegeben ist und die andere Darstellung nicht leicht zu sehen ist. Und natürlich werden oft Übungsaufgaben gestellt, wo man komplexe Diffbarkeit mit den CRDGL zeigen soll, obwohl es mit Grenzwert einfacher wäre.

Wenn man \(\mathbb{R}^2\) mit \(\mathbb{C}\) identifiziert, dann läuft das darauf hinaus, für eine komplex differenzierbare Funktion \(f\) die Jacobi-Matrix \(J_f\) (dies ist die reelle Ableitung) mit der komplexen Ableitung zu identifizieren, nämlich in dem Sinne, dass die Multiplikation eines Vektors \(v\in\mathbb{R}^2\) mit \(J_f\) (einer Drehstreckung) der komplexen Multiplikation der \(v\) entsprechenden komplexen Zahl mit \(f'\) entspricht.

Hilft das?
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