Meist kannst Du am einfachsten überall direkt den Grenzwert betrachten: \[f'(z)=\lim_{w\to z}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}.\] Dort, wo er existiert, ist die Funktion komplex differenzierbar. Allerdings sind die CRDGL in der Theorie und für geometrische Überlegungen relevant, und wenn die Funktion nicht direkt als Funktion von \(z\) sondern vom Real- und Imaginärteil angegeben ist und die andere Darstellung nicht leicht zu sehen ist. Und natürlich werden oft Übungsaufgaben gestellt, wo man komplexe Diffbarkeit mit den CRDGL zeigen soll, obwohl es mit Grenzwert einfacher wäre.

Wenn man \(\mathbb{R}^2\) mit \(\mathbb{C}\) identifiziert, dann läuft das darauf hinaus, für eine komplex differenzierbare Funktion \(f\) die Jacobi-Matrix \(J_f\) (dies ist die reelle Ableitung) mit der komplexen Ableitung zu identifizieren, nämlich in dem Sinne, dass die Multiplikation eines Vektors \(v\in\mathbb{R}^2\) mit \(J_f\) (einer Drehstreckung) der komplexen Multiplikation der \(v\) entsprechenden komplexen Zahl mit \(f'\) entspricht.

Hilft das?