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Deine erste Bedingung ist zu schwach formuliert; sie reicht nicht aus, um ein Komplement zu charakterisieren. Z.B. wäre nach dieser Definition \(L:=C\) ein Komplement.
Du musst fordern: \((A+B)\cap L=\{0\}\).
(Zuerst hatte ich die falsche Bedingung \(L\cap A=\{0\}\) und \(L\cap B=\{0\}\) angegeben.)
Hilft das?
Du musst fordern: \((A+B)\cap L=\{0\}\).
(Zuerst hatte ich die falsche Bedingung \(L\cap A=\{0\}\) und \(L\cap B=\{0\}\) angegeben.)
Hilft das?
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geantwortet
slanack
Lehrer/Professor, Punkte: 4K
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Hallo vielen Dank für die Antwort. Also für ein Komplement muss ich genau deine Aussage fordern, wenn ich aber zeigen möchte dass sie in direkter summe zueinander stehen, ist es dann nicht die gleiche Eigenschaft?
─
karate
29.03.2021 um 16:31
Tut mir leid, meine Antwort war falsch. Die Bedingung muss \((A+B)\cap L=\{0\}\) lauten und nicht \(A\cap L=\{0\}\) und \(B\cap L=\{0\}\). Ich Schreibe die Korrektur oben rein. Beantwortet das Deine Frage (die ich immer noch nicht ganz verstanden habe)?
─
slanack
29.03.2021 um 19:38
ah kein Problem. Hmm okei also genügt das? den ein anderer Student hat mir gesagt dass sein Übungsleiter ihm gesagt hat dass für A,B,C in einer direkten summe gelten muss \(A\cap(B +C)=\{0\}\) und \(B\cap (A +C)=\{0\}\) und \(C\cap (A +B)=\{0\}\).
Ja meine frage hat sich somit geklärt, aber es ist eine neue aufgetaucht, wie verhält man sich wenn man weiss dass B,C bereits in einer direkten Summe sind und man zeigen muss, dass \(A\) und \(B \oplus C\) in einer direkten summe sind, muss man dann auch alle 3 Aussagen von oben zeigen oder genügt da zu zeigen \(A\cap (B +C)=\{0\}\) ─ karate 29.03.2021 um 20:03
Ja meine frage hat sich somit geklärt, aber es ist eine neue aufgetaucht, wie verhält man sich wenn man weiss dass B,C bereits in einer direkten Summe sind und man zeigen muss, dass \(A\) und \(B \oplus C\) in einer direkten summe sind, muss man dann auch alle 3 Aussagen von oben zeigen oder genügt da zu zeigen \(A\cap (B +C)=\{0\}\) ─ karate 29.03.2021 um 20:03
Du hast die Notation gewechselt, das ist ungünstig. Ich bleibe bei der alten Notation.
Das erste ist richtig, und es gilt (überlegen!): \begin{multline*}A\cap(B +L)=\{0\},\ B\cap (A +L)=\{0\},\ L\cap (A +B)=\{0\}\\\Leftrightarrow A\cap B=\{0\},\ (A+B)\cap L=\{0\}.\end{multline*} Diese beiden Bedingungen stimmen also überein, es ist egal, ob man die linke oder die rechte verwendet. ─ slanack 29.03.2021 um 20:40
Das erste ist richtig, und es gilt (überlegen!): \begin{multline*}A\cap(B +L)=\{0\},\ B\cap (A +L)=\{0\},\ L\cap (A +B)=\{0\}\\\Leftrightarrow A\cap B=\{0\},\ (A+B)\cap L=\{0\}.\end{multline*} Diese beiden Bedingungen stimmen also überein, es ist egal, ob man die linke oder die rechte verwendet. ─ slanack 29.03.2021 um 20:40
okei könntest du mir aber hier ein wenig auf die Sprünge helfen?
─
karate
29.03.2021 um 21:02
"\(\Rightarrow\)": \(A\cap B=\{0\}\) folgt aus der ersten Identität auf der linken Seite und daraus, dass \(B\subseteq (B+L)\) gilt.
"\(\Leftarrow\)": Ich deute nur den Beweis der ersten Identität links an, die zweite geht analog. Sei \(x\in A\cap(B+L)\). Dann existieren Elemente \(a\in A, b\in B, \ell\in L\) mit \(x=a=b+\ell\). Es folgt \(\ell=a-b\in (A+B)\cap L\). Kannst Du das Argument zu Ende bringen? ─ slanack 29.03.2021 um 22:19
"\(\Leftarrow\)": Ich deute nur den Beweis der ersten Identität links an, die zweite geht analog. Sei \(x\in A\cap(B+L)\). Dann existieren Elemente \(a\in A, b\in B, \ell\in L\) mit \(x=a=b+\ell\). Es folgt \(\ell=a-b\in (A+B)\cap L\). Kannst Du das Argument zu Ende bringen? ─ slanack 29.03.2021 um 22:19
Ja das ging vielen Dank.
Sorry habe eigentlich den Kommentar hinzugefügt, jedoch ging da etwas schief, was ich erst jetzt merkte. Vielen Dank und frohe Ostern ─ karate 04.04.2021 um 12:35
Sorry habe eigentlich den Kommentar hinzugefügt, jedoch ging da etwas schief, was ich erst jetzt merkte. Vielen Dank und frohe Ostern ─ karate 04.04.2021 um 12:35