Wie finde ich ein Komplement zu zwei Unterräumen?

Aufrufe: 73     Aktiv: 04.04.2021 um 12:35

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Hallo Zusammen

Habe mal eine Theoretische Frage.
Angenommen man hat zwei Unterräume \(A,B\), welche in direkter Summe zueinander sind und für die gitl \(A \oplus B \subset C\) . Nun sucht man ein Komplement \(L\) von\(A \oplus B\) in \(C\). dafür muss ich ja zeigen dass
1. \(L\cap A \cap B= \{0\}\)
2. \(L + A + B = C\)

Das zweite ist mir klar wie ich das Zeigen soll, nur beim ersten stehe ich ein wenig auf dem Schlauch, da wenn ich ja ein \(x \in L\cap A \cap B\) wähle, so bekomme ich ja eigentlich wie drei verschiedene vektoren die x erzeugen. Wenn es nur 2 wären hätte ich dann einfach ein Gleichungsystem gemacht aber bei 3 bin ich mir nicht ganz sicher, dürfte ich da auch ein \(x \in L \cap (A+B)\) wählen? Dann hätte ich ja auch zwei "Darstellungsarten" für x welche ich gleichsetzen und auflösen könnte?

Vielen Dank für eure Hilfe
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1 Antwort
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Deine erste Bedingung ist zu schwach formuliert; sie reicht nicht aus, um ein Komplement zu charakterisieren. Z.B. wäre nach dieser Definition \(L:=C\) ein Komplement.

Du musst fordern: \((A+B)\cap L=\{0\}\).

(Zuerst hatte ich die falsche Bedingung \(L\cap A=\{0\}\) und \(L\cap B=\{0\}\) angegeben.)

Hilft das?
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Hallo vielen Dank für die Antwort. Also für ein Komplement muss ich genau deine Aussage fordern, wenn ich aber zeigen möchte dass sie in direkter summe zueinander stehen, ist es dann nicht die gleiche Eigenschaft?   ─   karate 29.03.2021 um 16:31

Tut mir leid, meine Antwort war falsch. Die Bedingung muss \((A+B)\cap L=\{0\}\) lauten und nicht \(A\cap L=\{0\}\) und \(B\cap L=\{0\}\). Ich Schreibe die Korrektur oben rein. Beantwortet das Deine Frage (die ich immer noch nicht ganz verstanden habe)?   ─   slanack 29.03.2021 um 19:38

ah kein Problem. Hmm okei also genügt das? den ein anderer Student hat mir gesagt dass sein Übungsleiter ihm gesagt hat dass für A,B,C in einer direkten summe gelten muss \(A\cap(B +C)=\{0\}\) und \(B\cap (A +C)=\{0\}\) und \(C\cap (A +B)=\{0\}\).
Ja meine frage hat sich somit geklärt, aber es ist eine neue aufgetaucht, wie verhält man sich wenn man weiss dass B,C bereits in einer direkten Summe sind und man zeigen muss, dass \(A\) und \(B \oplus C\) in einer direkten summe sind, muss man dann auch alle 3 Aussagen von oben zeigen oder genügt da zu zeigen \(A\cap (B +C)=\{0\}\)
  ─   karate 29.03.2021 um 20:03

Du hast die Notation gewechselt, das ist ungünstig. Ich bleibe bei der alten Notation.

Das erste ist richtig, und es gilt (überlegen!): \begin{multline*}A\cap(B +L)=\{0\},\ B\cap (A +L)=\{0\},\ L\cap (A +B)=\{0\}\\\Leftrightarrow A\cap B=\{0\},\ (A+B)\cap L=\{0\}.\end{multline*} Diese beiden Bedingungen stimmen also überein, es ist egal, ob man die linke oder die rechte verwendet.
  ─   slanack 29.03.2021 um 20:40

okei könntest du mir aber hier ein wenig auf die Sprünge helfen?   ─   karate 29.03.2021 um 21:02

"\(\Rightarrow\)": \(A\cap B=\{0\}\) folgt aus der ersten Identität auf der linken Seite und daraus, dass \(B\subseteq (B+L)\) gilt.

"\(\Leftarrow\)": Ich deute nur den Beweis der ersten Identität links an, die zweite geht analog. Sei \(x\in A\cap(B+L)\). Dann existieren Elemente \(a\in A, b\in B, \ell\in L\) mit \(x=a=b+\ell\). Es folgt \(\ell=a-b\in (A+B)\cap L\). Kannst Du das Argument zu Ende bringen?
  ─   slanack 29.03.2021 um 22:19

Ja das ging vielen Dank.
Sorry habe eigentlich den Kommentar hinzugefügt, jedoch ging da etwas schief, was ich erst jetzt merkte. Vielen Dank und frohe Ostern
  ─   karate 04.04.2021 um 12:35

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