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Hallo Zusammen ich müsste für folgende Funktion die Differenzierbarkeit an der Stelle 0 überprüfen und das Differential bestimmen. Ich habe es wie folgt versucht, bin mir aber nicht ganz sicher ob das so okei ist. Könnte sich das jemand kurz anschauen?




Noch kurz eine Frage: In meinem ersten Versuch wollte ich das ganze über die Definition beweisen, also:
\(f:U\rightarrow \mathbb{R}^k, U\subset \mathbb{R}^n\) ist differenzierbar an der Stelle \(a\in U\) wenn es eine Lineare Abbildung \(L: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^k\) gibt so dass \(lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{|h|}=0\). 
jedoch bin ich da auf gewisse Schwierigkeiten gestossen, trotzdem würde ich gerne wissen wie man es über die Definition macht.
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Zu deinem Ansatz von vorher direkt über die Definition:
Beachte, dass bei dem Grenzwert \( h\) ein Element von \( \mathbb R^2\) ist. Wenn man \(h\) in \(f\) einsetzt erhält man somit
\[ f(0+h)= h_1^2+h_2^2 = \Vert h \Vert ^2.\]
Auch der letzte Schritt bei der Berechnung des Grenzwertes funktioniert so nicht ganz. Hier musst du die lineare Abbildung \(L\) explizit wählen, nämlich in diesem Fall als die Nullabbildung. Dann folgt der Grenzwert \(0\) unmittelbar.
Bei der jetzigen Lösung verwendest du den Satz, dass wenn die partiellen Ableitungen stetig diffbar sind, die Funktion auch differenzierbar ist, was natürlich funktioniert.
Edit: Bei deiner jetzigen Lösung schreibst du das Differential \(df|_{(0,0)}\) an der Stelle \( (0,0)\) hin. Dies hängt dann aber nicht mehr von \( x,y\) ab sondern man setzt hier \( x=0\) und \(y=0\) ein, da man ja genau diese Stelle betrachtet.
Ich hoffe das hilft dir weiter.
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Hallo okei also wäre es okei wenn ich es nochmals versuchen würde über die Definition, nur weil es mich gerade wunder nimmt, und dann die Lösung hier nochmals hochstellen würde zur Korrektur?
aha also dann würde ich gerade die 0-Abbildung bekommen?
  ─   karate 14.03.2021 um 13:13

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Es geht mit der Def. ganz einfach, nach Einsetzen steht es eigentlich schon da. In Deiner Lösung hast Du \(Jac(f)(0,0)\) geschrieben, aber \(Jac(f)(x,y)\) eingesetzt. Mit dem richtigen Einsetzen kriegst Du das richtige L...   ─   mikn 14.03.2021 um 13:30

Vielen Dank also hätte ich dann mit der Definition \(\frac{||h||^2-L(h)}{||h||}\) wir bemerken dass für \(L(h)=0\) gilt \(\frac{||h||^2-L(h)}{||h||}=\frac{||h||^2}{||h||}=||h|| \stackrel{h \rightarrow 0}{\rightarrow}0\) daher gilt dass f differenzierbar an der Stelle 0 ist mit \(L(h)=0\). Geht das so?
Und vielen Dank, meinen Fehler habe ich nun erkannt mit der Jacobi Matrix
  ─   karate 14.03.2021 um 14:15

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Genau so, perfekt.   ─   mikn 14.03.2021 um 14:57

super vielen Dank!
  ─   karate 14.03.2021 um 15:25

Doch noch ne Ergänzung (war doch noch nicht perfekt): Es sollte heißen, "differenzierbar an der Stelle (0,0) mit L(0,0)=(0,0)". L(0,0) ist eine lin. Abb., hier die Null-Abb., L(h) kommt in der Ableitung an der Stelle (0,0) nicht vor (weil darin kein h vorkommt).   ─   mikn 14.03.2021 um 15:39

hmm jetzt sehe ichs nicht gleich, ist denn die Lineare Abbildung nicht auch noch abhängig von einer Variable? Gestern hat mir nämlich hier jemand erklärt, dass \(df|_a(h)\) bedeutet, dass das das Differential an der Stelle a ist welches wiederum abhängig von h ist, also das h ist wie das x bei anderen Funktionen.   ─   karate 14.03.2021 um 15:54

Ja, das h ist das x, aber davon hängt nicht die Abb. ab, sondern der Wert der Abb. Eine lin. Abb. kann durch eine konstante Matrix angegeben werden, diese Matrix ist hier 1x2, nämlich (0,0). Man kann es auch mit dem "x" machen (in der lin. Alg. eher unüblich), dann hiesse es korrekt:
L(0,0)(x,y)=0 (die Zahl 0), oder auch L(0,0)(h1,h2)=0.
  ─   mikn 14.03.2021 um 16:03

aha also das heisst dass wir zwar nicht viel über die Lineare Abbildung wissen, aber das ist uns auch egal, denn wir benötigen nur den Punkt L(0,0), und dieser ist dann genau auch (0,0). Aber im Grundsatz hätte die Lineare Abbildung L noch 2 Variabeln "verbaut", über die wir aber nichts wissen und auch nichts wissen wollen?   ─   karate 14.03.2021 um 16:24

Wir wissen alles. \(L(x,y):R^2\to R\), an der Stelle (0,0) wie gesagt: L(0,0)=(0,0). L(0,0) ist kein Punkt, sondern eine lin. Abb. bzw. die Matrix der lin. Abb. L(0,0). Allg. hat man hier \(L(x,y)=(2x,2y)\) (partielle Ableitungen). Das ist die lin. Abb. L(x,y). Angewandt auf einen Vektor h: \(L(x,y)(h_1,h_2)=(2x,2y)\cdot (h_1,h_2)^T = 2xh_1+2yh_2\). Da sind dann die beiden Variablen verbaut, und ja, in der Aufgabe steht "in (0,0)" (ich hoffe das steht im Original da so!) und dann kann man sagen, der allg. Fall interessiert uns hier nicht.
Es ist wichtig, sich hier die auftretenden Objekte klar zu machen: Was ist eine Matrix, was ein Vektor, was ein Punkt. Sonst kommt man leicht durcheinander. Und das ist nur der Fall f:R^2-> R, in Kürze wirst Du sicher dem Fall f:R^m->R^n begegnen.
  ─   mikn 14.03.2021 um 17:55

Aha also ist die Lineare Abbildung ausgeschrieben diese \(2xh_1+2yh_2\) wobei \((h_1,h_2)\) ein Vektor aus \(\mathbb{R}^2\) ist, an welchem man dann nur den Funktionswert der Linearen Abbildung bestimmen kann, das x und y hingegen sind so zusagen die Punkte an der die Lineare Abbildung, also das Differential in unserem Falle an die Funktion "angelehnt" ist.   ─   karate 14.03.2021 um 19:23

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Ja, kann man so sagen: Das 2xh1+2yh2 ist der Funktionswert, denn die lineare Abbildung an der Stelle (h1,h2) annimmt. Die Abb. selbst hängt von (x,y) ab, und damit auch ihr Funktionswert, an jeder Stelle, an der diese Abb. ausgewertet wird, hier (h1,h2). Mit (0,0) ist das so ne Sache, weil da in diesem Fall alles zu null wird und man die Abhängigkeiten nicht mehr sieht.   ─   mikn 14.03.2021 um 20:12

ah okei ja jetzt ist es klar vielen Dank!
  ─   karate 14.03.2021 um 20:22

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