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Hallo,
ich beschäftige mich Hobbymässig mit einer gewissen Strategie zum Roulette spielen (jaja, die Bank gewinnt immer. ist mir schon klar. Mir gehts gerade um die Mathematik.)
und dabei bin ich auf folgende Situation gestoßen:
Wir spielen in Runden, in jeder Runde wird ein bestimmter Einsatz e(t) auf eine Farbe gesetzt und ein bestimmer EInsatz f(t) auf die Null.
Die Einsätze e(0) und f(0) für die 0te aka erste Runde seien vorgegeben und sind Konstanten. Ausserdem sei eine Konstante g gegeben.
Die Folgeeinsätze berechnen sich gemäß der Gleichungen
f(t+1)=2/34*(K+g) und e(t+1)=36/34*(K+g)
K entspricht hier den Kosten aus den Vorrunden, also der Summe der Einsätz der Vorrunden
(Für t=2 ist also K=e0+f0+e1+f1)
Nun hätte ich natürlich gerne eine explizite Formel für e(t) und f(t).
Ich schätze dass die geometrische Reihen drin vorkommen werden.
Aber dadurch dass die e(t) und f(t) zwangsläufig miteinander verbunden sind, macht das Ganze recht schwierig zu lösen :-(
Hat Jemand eine Idee hierzu?
Würde hoffen dass man das Problem irgendwie in ein Matrix/Vektorproblem umformen könnte und es dadurch einfacher zu lösen wäre :-/
Student, Punkte: 304
E(t+1)=38/34*SummeEts+36/34*g
was wir allgemein als
e(t+1)=k1*SummeEts+k2 ansetzen
es folgt:
e1=k1*e0+k2
e2=k1*(k1*e0+k2)+k2 = k1^2*e0+k2*(k1+1)
e3=k1*( k1^2*e0+k2*(k1+1))+k2
=k1^3*e0+k2*(k1^2+k1+1)
Ich vermute jetzt mal das Offensichtliche und sage
et=k1^t*e0+k2*(summe aller k1^j, wobei 0<=j
der hinterste teil müsste eine geometrische reihe sein, für die gilt
(summe aller k1^j, wobei 0<=j
damit würde dann folgen
et=k1^t * e0 + k2 * (1-k1^t)/(1-k1)
Kann das bitte Jemand bestätigen, ist das Alles so korrekt? :-)
Ich habe oben Unsinn gerechnet, da ich nciht alle Vorgängerglieder berücksichtigt habe.
Nach weiterem hin und Her komme ich nun zu
e1=k1*e0+k2
e2=k1*(e0+e1)+k2
=k1*(e0+ k1*e0+k2)+k2
=k1*e0+k1^2*e0 +k1*k2+k2
=e0*(k1^2+k1)+k2*(k1+1)
=(k1+1)*(e0*k1+k2)
=(k1+1)*e1
e3=k1*(e0+e1+e2)+k2
=k1*(e0 + k1*e0+k2 + e0*(k1^2+k1)+k2*(k1+1)) + k2
=e0*(k1+k1^2+k1^3+k1^2) +k2*(k1+k1^2+k1+1)
=e0*(k1^3+2*k1^2+k1)+k2*(k1^2+2*k1+1)
=e0*k1* (k1^2+2*k1+1)+k2* (k1^2+2*k1+1)
=(e0*k1+k2)* (k1^2+2*k1+1)
=e1*(k1+1)(k1+1)=e1*(k1+1)^2
Vermutlich gilt also für die Folgenglieder mit t>1:
et=e1*(k1+1)^(t-1)=(k1*e0+k2)*(k1+1)^(t-1)
Ich melde mich wenn ich wieder Fehler gefunden habe :-) ─ densch 01.02.2022 um 09:11
Ich habe ja meine Exceltabelle wo ich den Wert von Zeile zu zeile mittels der eingänglichen Rekursionsformeln (die mit K und g drin) berechnet habe.
Und für mindestens die ersten 20 zeilen stimmen die Werte nun überein! ─ densch 01.02.2022 um 09:15
Ich glaube, ich bin etwas weiter gekommen:
Durch die Rekursionsgleichungen
f(t+1)=2/34*(K+g) und e(t+1)=36/34*(K+g)
(K war ja hier die SUmme der et und ft aller vergangengen Runden)
Mit dnene folgt direkt
ft/et=2/36, also ft=2/36*et
Insofern sind ft und et nciht unabhängig voneinander und mein Problem verinfacht sich damit wie folgt:
et=36/34*(K+g)=36/34*SummeEts+36/34*SummeFts+36/34*g
=36/34*SummeEts+36/34*2/36*SummeEts+36/34*g
=(36/34*38/36)*SummeEts+36/34*g
=38/34*SummeEts+36/34*g
Kurzum, E(t+1) ist nun einfach die Summe aller vorherigen et Werte, mit einem Faktor multipliziert und plus eine Konstante.
Hat da nun Jemand eine Idee, wie man das lösen könnte? :-)
Geht also irgendwie um die Folge der Reihenwerte oder so :-)
Analog müsste wegen et=36/2*ft auch für ft gelten:
ft=2/34*(K+g)=2/34*SummeFts+2/34*SummeEts+2/34*g
=2/34*SummeFts+2/34*36/2*SummeFts+2/34*g
=(38/34)*SummeFts+2/34*g
─ densch 01.02.2022 um 06:24