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Surjektiver Ringhomomorphismus prüfen (Lösung so richtig?)

Erste Frage Aufrufe: 414 Aktiv: 07.05.2023 um 19:59

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Ich möchte zeigen, dass die Abbildung $\phi : \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{C}, f \mapsto \phi (f)=f(i)$ ein surjektiver Ringhomomorphismus ist.

Wegen:
$\phi(f+g)=(f+g)(i)=f(i)+g(i)= \phi(f)+\phi(g)$

$\phi (f \cdot g)= (f \cdot g)(i)=f(i) \cdot g(i)= \phi(f) \cdot \phi(g)$

Ist die Abbildung ein Ringhomomorphismus.

Sei $z$ beliebig von der Form $z=a+bi$ , wir betrachten das Polynom $f(x)=a+bx$ , dann gilt:

$\phi(f)=f(i)=a+bi=z$

Daher hat jedes Element $z \in \mathbb{C}$ ein Urbild unter $\phi$ , nämlich das Polynom $f(x) = a + bx$ . Also ist $\phi$ surjektiv.

Ist das alles inhaltlich/ von der Notation her korrekt?

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gefragt 05.05.2023 um 11:01

mart1na
Punkte: 17

ja, das stimmt so ─ fix 05.05.2023 um 14:15

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Danke für deine Rückmeldung. Mir kam gerade noch eine zweite Frage auf, für welche ich nicht extra einen neuen Thread eröffnen wollte:

Ich möchte zeigen, dass

$\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ isomporh zu den komplexen Zahlen ist. Um den ersten isomrphiesatz anwenden zu können, habe ich oben gezeigt, dass die Abbildung ein Epimorphismus ist, jetzt muss ich noch deren Kern berechnen.
Dazu steht in meinen Lehrbuch folgende Aussage (Notation:

$\phi = \sigma$ ):

Um zu zeigen, dass Ker

$\sigma=\left(X^{2}+1\right)$ , teilen wir jedes

$f$ durch

$X^{2}+1$ :

$f=\left(X^{2}+1\right) \cdot q+r \quad \text { mit deg } r \leq 1, \quad \text { also } r=a+b X \text { mit } a, b \in R .$
Wegen

$\mathbf{i}^{2}+1=0$ ist

$f(\mathbf{i})=r(\mathbf{i})=a+b \mathbf{i}$ . Da

$r(\mathbf{i})=0$ äquivalent ist zu

$r=0$ folgt

$\sigma(f)=0 \Leftrightarrow f=\left(X^{2}+1\right) q$

Laut der letzten Zeile würde ich doch jetzt eigentlich vermuten, dass der

$Ker(\sigma)=(x^2+1)q$ ist, was aber eigentlich gezeigt werden sollte, ist ja das Ker

$(\sigma)=\left(X^{2}+1\right)$ . Kannst du mir da beim Verständnis von dieser Ungleichheit weiterhelfen?

Danke für deine Rückmeldung. Mir kam gerade noch eine zweite Frage auf, für welche ich nicht extra einen neuen Thread eröffnen wollte:

Ich möchte zeigen, dass $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ isomporh zu den komplexen Zahlen ist. Um den ersten isomrphiesatz anwenden zu können, habe ich oben gezeigt, dass die Abbildung ein Epimorphismus ist, jetzt muss ich noch deren Kern berechnen.
Dazu steht in meinen Lehrbuch folgende Aussage (Notation: $\phi = \sigma$):

Um zu zeigen, dass Ker $ \sigma=\left(X^{2}+1\right) $, teilen wir jedes $ f $ durch $ X^{2}+1$ :
$f=\left(X^{2}+1\right) \cdot q+r \quad \text { mit deg } r \leq 1, \quad \text { also } r=a+b X \text { mit } a, b \in R .$
Wegen $ \mathbf{i}^{2}+1=0 $ ist $ f(\mathbf{i})=r(\mathbf{i})=a+b \mathbf{i} $. Da $ r(\mathbf{i})=0 $ äquivalent ist zu $ r=0 $ folgt
$\sigma(f)=0 \Leftrightarrow f=\left(X^{2}+1\right) q$

Laut der letzten Zeile würde ich doch jetzt eigentlich vermuten, dass der $Ker(\sigma)=(x^2+1)q$ ist, was aber eigentlich gezeigt werden sollte, ist ja das Ker $ (\sigma)=\left(X^{2}+1\right) $. Kannst du mir da beim Verständnis von dieser Ungleichheit weiterhelfen?

─ mart1na 07.05.2023 um 17:09

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1 Antwort

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fix · Accepted Answer · 2023-05-07T19:58:21Z

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Moin,

ich schreib das mal als Antwort, damit man alles besser lesen kann. Zuerst muss man sich klar machen, was

$(X^2+1)$ bedeutet. Es ist das vom Polynom

$X^2+1$ erzeugte Ideal. Man prüft nun leicht, dass

$p(X)\in (X^2+1) \Leftrightarrow X^2+1 | p(X)$ Und genau das ist es, was hier gezeigt wird: Man nimmt sich ein beliebiges Polynom aus dem Kern von

$\sigma$ , d.h.

$f\in \mathbb{R}[X]$ mit

$\sigma(f)=f(i)=0$ , und teilt es durch

$X^2+1$ . Wenn es keinen Rest gibt, dann ist

$f\in (X^2+1)$ , und du bist fertig.
Ich hoffe ich konnte alle Fragen klären.

LG

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geantwortet 07.05.2023 um 19:58

fix
Student, Punkte: 3.85K

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