Das Problem bei der Rechnung ist, dass $\sqrt[n]{a}$ nur für $a\geq 0$ definiert ist, so dass die zweite Gleichung nicht stimmt, denn auch $\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}$ (hier: $k=1$) gilt nur für $a\geq 0$. 

Die Festlegung $\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}$ für $n$ ungerade verursacht dann genau die Problematik in der obigen Rechnung. Die Wurzelgesetze sind nämlich nur für positive Radikanden gültig. Taschenrechner sind so programmiert, dass sie genau dieser Festlegung folgen.

Das Quadrat hebt doch das Minus weg? Also warum mit dem Minus rumplagen?

Zwei andere Punkte:
Dass du hier mit dem Quadrieren vom 3ten in den 4ten Schritt keine Äquivalenzumformung hast, ist dir bewusst?

Außerdem: Unter geraden Wurzeln kann es keine negative Radikanden geben. Deswegen motzt der Taschenrechner. Für ungerade Wurzeln ist das eine Sache der Definition. Manche lassen das zu, andere nicht. Es kann also auch hier TR-Probleme geben.