Integrieren/Integrationstechnik

Aufrufe: 786     Aktiv: 14.03.2020 um 18:02
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Hallo, der Integralrechner unter

https://www.integralrechner.de/#expr=1%2Fsqrt%289x%5E2%2B12x%2B1%29

macht folgende Rechenschritte:

1. Quadratische Ergänzung:

\( \int \frac{1}{\sqrt{(3x+2)^2-3}} dx\)

2. Substituion:

\( \frac{1}{3}\int \frac{1}{\sqrt{u^2-1}} du\)

Dann bekommt man praktisch schon die Lösung. Aber selbst wäre ich da auch nicht drauf gekommen.

Grüße Holly

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Ja, das hab ich auch schon gesehen, aber wenn ich quadratisch Ergänze, kommt bei mir dieser Term nicht raus...   ─   thalgaugang1 14.03.2020 um 16:00
Wie lauten denn die Rechenschritte dabei? Vielleicht können wir dir helfen den Fehler zu finden   ─   1+2=3 14.03.2020 um 16:01
9x^2+12x+1=(x+6)^2-36+1   ─   thalgaugang1 14.03.2020 um 16:08
Du hast die 9 am Anfang nicht berücksichtigt. Dann solte \(9x^2+12x+1=(3x+2)^2-3\) herauskommen.   ─   holly 14.03.2020 um 16:19
Ok, danke, ich bin jetzt soweit, dass (9x+6)^2-3 steht, aber wie komm ich jetzt auf den 2er?..   ─   thalgaugang1 14.03.2020 um 16:32
Ah ja, das ist einfacher als meine Lösung. Das hab ich nicht gesehen.   ─   sterecht 14.03.2020 um 16:33
Stimmt, aber du hast mir trotzdem etwas geholfen danke :) @sterecht
   ─   thalgaugang1 14.03.2020 um 16:34
Es ist \(9x^2+12x+1=(3x)^2+2\cdot 3x\cdot2+2^2-2^2+1=(3x+2)^2-3.\)   ─   sterecht 14.03.2020 um 16:35
Okey, dann ist das gar nicht so wie in der Anleitung (ich hab noch nie quad. ergänzt..), muss man da die Wurzel berücksichtigen?   ─   thalgaugang1 14.03.2020 um 16:38
Nein, da ist die Wurzel erst mal egal. Du musst aus dem quadratischen und dem gemischten Term eine binomische Formel basteln, indem du ein passendes Quadrat (hier \(2^2\)) addierst und wieder subtrahierst.
Also bekanntermaßen \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), unser \(a\) ist hier \(3x\) damit, es funktioniert, und damit der gemischte Term aufgeht, muss \(b=2\) gelten.   ─   sterecht 14.03.2020 um 16:49
und wie kommt man auf a und b konkret? soll ich das erraten?   ─   thalgaugang1 14.03.2020 um 16:55
\(a\) ist die Wurzel aus dem quadratischen Teil (hier \(\sqrt {9x^2}=3x\)). Dann muss ja \(2ab\) dem linearen Teil der quadratischen Funktion entsprechen (hier \(12x\), so findet man \(b\).   ─   sterecht 14.03.2020 um 17:00
Danke :)
   ─   thalgaugang1 14.03.2020 um 18:02

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Nach viel Herumprobieren hab ich die Substitution \(u=\sqrt {9x^2+12x+1}+3x+2\Longrightarrow du=\left (\frac {18x+12}{2\sqrt {9x^2+12x+1}}+3\right)=\frac {3u}{\sqrt{9x^2+12x+1}}dx\) gefunden, mit der das Integral zu 

\(\int\frac {1}{\sqrt {9x^2+12x+1}}\cdot\frac {\sqrt {9x^2+12x+1}}{3u}du=\int\frac {du}{3u}\)

wird, was einfach lösbar ist.

Wie kommt man darauf? Keine Ahnung, rumprobieren. (Das mysteriöse \(3x+2\) ist vermutlich hilfreich, weil es bis auf einen konstanten Faktor der Ableitung des Radikanten entspricht.) Vermutlich gibt es auch einen viel offensichtlicheren und einfacheren Weg, aber den konnte ich nicht finden.

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