Du sollst zeigen, dass \(\omega\) eine nicht-ausgeartete schiefsymmetrische Bilinearform mit \(\omega(JX,JY)=\omega(X,Y)\) ist, es ist also eine Menge zu zeigen. Fang damit an, dass \(\omega\) eine Bilinearform ist. D.h. du musst zeigen, dass \(\omega\) in beiden Argumenten linear ist, dazu jeweils Additivität und Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation.

Zum Beispiel ist \(\omega\) im ersten Argument additiv, denn für \(X,X',Y\in V\) ist $$\omega(X+X',Y)\overset{\text{Def}}=g(J(X+X'),Y)\overset{J\text{ linear}}=g(JX+JX',Y)\overset{g\text{ bilinear}}=g(JX,Y)+g(JX',Y)\overset{\text{Def}}=\omega(X,Y)+\omega(X',Y).$$
Versuch die anderen Rechnungen selber, die sind alle ebenso einfach. Für die Schiefsymmetrie verwende die Verträglichkeit von \(J\) mit \(g\), für die nicht-Ausgeartetheit, dass \(J\) bijektiv und \(g\) nicht-ausgeartet ist und die Eigenschaft \(\omega(JX,JY)=\omega(X,Y)\) ist dann nur noch eine einfache Rechnung.

Ich zeige die Schiefsymmetrie:

\[ \omega(X,Y) \overset{\text{Def. } \omega}= g(JX,Y) \overset{\text{Def. } J}= g(JJX,JY) \overset{J^2=-\text{id}}=  g(-X,JY) \overset{g\text{ Skalarprod.}}= - g(JY,X) \overset{\text{Def. } \omega}= -\omega(Y,X) \]

Ich zeige \( \omega(JX,JY) = \omega(X,Y) \)

\[ \omega(X,Y) \overset{\text{Def. } \omega}= g(JX,Y) \overset{g\text{ Skalarprod.}}= - g(-Y,JX) \overset{J^2=-\text{id}}= - g(JJY,JX) \overset{\text{Def. } \omega}= - \omega(JY,JX) \overset{\text{Schiefsymmetrie}}= \omega(JX,JY) \]

Jetzt fehlt nur noch, dass \(\omega\) nicht ausgeartet und eine Bilinearform ist.