Lineare Algebra Beweis frage

Aufrufe: 36     Aktiv: 03.06.2021 um 14:37

0

hey!hat jemand ne idee?ich bin nämlich ganz verwirrt mit der Aufgabe 
Danke

Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 92

 

Kommentar schreiben

2 Antworten
0
Du sollst zeigen, dass \(\omega\) eine nicht-ausgeartete schiefsymmetrische Bilinearform mit \(\omega(JX,JY)=\omega(X,Y)\) ist, es ist also eine Menge zu zeigen. Fang damit an, dass \(\omega\) eine Bilinearform ist. D.h. du musst zeigen, dass \(\omega\) in beiden Argumenten linear ist, dazu jeweils Additivität und Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation.

Zum Beispiel ist \(\omega\) im ersten Argument additiv, denn für \(X,X',Y\in V\) ist $$\omega(X+X',Y)\overset{\text{Def}}=g(J(X+X'),Y)\overset{J\text{ linear}}=g(JX+JX',Y)\overset{g\text{ bilinear}}=g(JX,Y)+g(JX',Y)\overset{\text{Def}}=\omega(X,Y)+\omega(X',Y).$$
Versuch die anderen Rechnungen selber, die sind alle ebenso einfach. Für die Schiefsymmetrie verwende die Verträglichkeit von \(J\) mit \(g\), für die nicht-Ausgeartetheit, dass \(J\) bijektiv und \(g\) nicht-ausgeartet ist und die Eigenschaft \(\omega(JX,JY)=\omega(X,Y)\) ist dann nur noch eine einfache Rechnung.
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 9.88K
 

Kommentar schreiben

0

Ich zeige die Schiefsymmetrie:

\[ \omega(X,Y) \overset{\text{Def. } \omega}= g(JX,Y) \overset{\text{Def. } J}= g(JJX,JY) \overset{J^2=-\text{id}}=  g(-X,JY) \overset{g\text{ Skalarprod.}}= - g(JY,X) \overset{\text{Def. } \omega}= -\omega(Y,X) \]

Ich zeige \( \omega(JX,JY) = \omega(X,Y) \)

\[ \omega(X,Y) \overset{\text{Def. } \omega}= g(JX,Y) \overset{g\text{ Skalarprod.}}= - g(-Y,JX) \overset{J^2=-\text{id}}= - g(JJY,JX) \overset{\text{Def. } \omega}= - \omega(JY,JX) \overset{\text{Schiefsymmetrie}}= \omega(JX,JY) \]

Jetzt fehlt nur noch, dass \(\omega\) nicht ausgeartet und eine Bilinearform ist.

Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 270
 

Kommentar schreiben