Zum Beispiel ist \(\omega\) im ersten Argument additiv, denn für \(X,X',Y\in V\) ist $$\omega(X+X',Y)\overset{\text{Def}}=g(J(X+X'),Y)\overset{J\text{ linear}}=g(JX+JX',Y)\overset{g\text{ bilinear}}=g(JX,Y)+g(JX',Y)\overset{\text{Def}}=\omega(X,Y)+\omega(X',Y).$$
Versuch die anderen Rechnungen selber, die sind alle ebenso einfach. Für die Schiefsymmetrie verwende die Verträglichkeit von \(J\) mit \(g\), für die nicht-Ausgeartetheit, dass \(J\) bijektiv und \(g\) nicht-ausgeartet ist und die Eigenschaft \(\omega(JX,JY)=\omega(X,Y)\) ist dann nur noch eine einfache Rechnung.
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