Vektor, Koordinatenabbildung

Aufrufe: 53     Aktiv: 01.07.2021 um 09:50

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Ich habe offensichtlich Probleme, die Koordinatenabbildung eines Vektors aus einem Vektorraum in den K^(n) zu verstehen. Offensichtlich sind Basen eindeutig bestimmt, d.h. es gibt nur eine Darstellung der jeweiligen Vektoren aus V, wäre dies nicht so, so wären die Vektoren mit Beweis nicht linear unabhängig, da die Koordinaten der jeweiligen Basen != 0 (da ungleich), somit offensichtlich eindeutig.
Ist die Idee richtig, dass man naiv einen Vektor aus einem (V, + , K) (z.B. 2 4 ) aus V (1 Dimensional), so kann man diesen eindeutig einem K^(n) bijektiv zuordnen, sofern man die Abbildung auf einer Basis definiert. Also z.B. (2 4) auf ((1 0) ( 0 1)) wäre das ja trotzdem (2 4), wäre die Basis aber ((2 0) (0 2)), so wäre der K^(n) nur (1 2 ), weil die Körperelemente der Basis intuitiv größer sind.
Stimmt das soweit?
Wenn ja, habe ich trotzdem leider noch extreme Schwierigkeiten die Verbindung zwischen Basiswechsel und linearer Abbildung zu verstehen, ferner fällt es mir schwer die Koordinatenabbildung zu finden, einfach mit LGS, also beide Vektoren mit Koeffizienten addiert = ().3. te der abhängig ist, und die Koeffizienten sind dann die Koordinanten?

Auf jeden Fall vielen Dank schon mal :-)
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Ich glaube du durchmischst hier teilweise die Koordinatenabbildung und den Basiswechsel. Natürlich kann man beides miteinander verbinden, für das Verständnis solltest du diese erstmal getrennt betrachten. 
Die Koordinatenabbildung ist ein Isomorphismus eines \(n\)-dimensionalem \(K\)-Vektorraums \(V\) zum \(K^n\). Dieser Isomorphismus ist deshalb wichtig, da man so Probleme nicht im "schwierigem" Vektorraum \(V\) lösen muss, sondern im "einfachen" \(K^n\). Selbstverständlich hängt dieser Isomorphismus von der Wahl der Basen von \(V\) und \(K^n\) ab, meist nimmt man aber im \(K^n\) einfach die kanonische Basis, weshalb ich mich jetzt auch auf diesen Fall beschränke. Wenn nun \(\mathfrak{B}=(v_1,\ldots,v_n)\) eine Basis von \(V\) ist, dann lässt sich jedes \(v\in V\) eindeutig als \(v=\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i\) mit \(\lambda_i\in K\) darstellen. Diese Koeffizienten nennt man dann auch die Koordinanten von \(v\) und die Koordinantenabbildung \(\Phi_{\mathfrak{B}}\) ordnet dann jedem \(v\in V\) seinen Koordinatenvektor \((\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in K^n\) zu. Es ist leicht nachzurechnen, dass \(\Phi_{\mathfrak{B}}\) ein Vektorraumisomorphismus ist.
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