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Ich glaube du durchmischst hier teilweise die Koordinatenabbildung und den Basiswechsel. Natürlich kann man beides miteinander verbinden, für das Verständnis solltest du diese erstmal getrennt betrachten.
Die Koordinatenabbildung ist ein Isomorphismus eines \(n\)-dimensionalem \(K\)-Vektorraums \(V\) zum \(K^n\). Dieser Isomorphismus ist deshalb wichtig, da man so Probleme nicht im "schwierigem" Vektorraum \(V\) lösen muss, sondern im "einfachen" \(K^n\). Selbstverständlich hängt dieser Isomorphismus von der Wahl der Basen von \(V\) und \(K^n\) ab, meist nimmt man aber im \(K^n\) einfach die kanonische Basis, weshalb ich mich jetzt auch auf diesen Fall beschränke. Wenn nun \(\mathfrak{B}=(v_1,\ldots,v_n)\) eine Basis von \(V\) ist, dann lässt sich jedes \(v\in V\) eindeutig als \(v=\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i\) mit \(\lambda_i\in K\) darstellen. Diese Koeffizienten nennt man dann auch die Koordinanten von \(v\) und die Koordinantenabbildung \(\Phi_{\mathfrak{B}}\) ordnet dann jedem \(v\in V\) seinen Koordinatenvektor \((\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in K^n\) zu. Es ist leicht nachzurechnen, dass \(\Phi_{\mathfrak{B}}\) ein Vektorraumisomorphismus ist.
Die Koordinatenabbildung ist ein Isomorphismus eines \(n\)-dimensionalem \(K\)-Vektorraums \(V\) zum \(K^n\). Dieser Isomorphismus ist deshalb wichtig, da man so Probleme nicht im "schwierigem" Vektorraum \(V\) lösen muss, sondern im "einfachen" \(K^n\). Selbstverständlich hängt dieser Isomorphismus von der Wahl der Basen von \(V\) und \(K^n\) ab, meist nimmt man aber im \(K^n\) einfach die kanonische Basis, weshalb ich mich jetzt auch auf diesen Fall beschränke. Wenn nun \(\mathfrak{B}=(v_1,\ldots,v_n)\) eine Basis von \(V\) ist, dann lässt sich jedes \(v\in V\) eindeutig als \(v=\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i\) mit \(\lambda_i\in K\) darstellen. Diese Koeffizienten nennt man dann auch die Koordinanten von \(v\) und die Koordinantenabbildung \(\Phi_{\mathfrak{B}}\) ordnet dann jedem \(v\in V\) seinen Koordinatenvektor \((\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in K^n\) zu. Es ist leicht nachzurechnen, dass \(\Phi_{\mathfrak{B}}\) ein Vektorraumisomorphismus ist.
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mathejean
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