Du kannst vllt rechnen:

\(\lg (2\cdot \left(2^{x-1}\right)^4 +18) \leq \lg(5\cdot 2^{x-1}+10) \quad \Leftrightarrow \quad 0\leq \lg(5\cdot 2^{x-1}+10)-\lg (2\cdot \left(2^{x-1}\right)^4 +18) \quad \Leftrightarrow \quad 0\leq \lg \left(\frac{5\cdot 2^{x-1}+10}{2\cdot \left(2^{x-1}\right)^4 +18}\right) \quad \Leftrightarrow \quad 1\leq \frac{5\cdot 2^{x-1}+10}{2\cdot \left(2^{x-1}\right)^4 +18}\) 

Einfacher sieht das zwar nicht aus, aber du hast immerhin einen großen Logarithmus draus gemacht und das ist genau dann größer als Null, wenn der Term im Logarithmus größer als 1 ist. Vllt hilft es auch \(z=2^{x-1}\) zu substituieren ... hab ich aber noch nicht ausprobiert. Hoffe das hilft.