Ungleichung Exponentialfunktion zeigen

Aufrufe: 65     Aktiv: 22.12.2021 um 13:09

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Hallo,

ich komme bei folgender Aufgabe nicht zurecht. Ich hätte gedacht es mit dem Mittelwertsatz zu versuchen allerdings stellt sich mir dabei das n in den Weg. Könnte mir bitte jemand bei einem Ansatz helfen?
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Punkte: 10

 

Kennst du die Reihendarstellung der e-Funktion?   ─   42 20.12.2021 um 12:18
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Mit der Reihendarstellung ist a) direkt erledigt, daher vermute ich, dass die nicht zur Verfügung steht.
Alternativ: Vollständige Induktion. Ind.Anf. bei n=0. Im Ind.Schritt zeige, dass $f(x)=e^x-\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ streng monoton steigend ist.
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Ich habe es doch, nach Rücksprache, mit der Reihendarstellung gelöst. Aber wie gehe ich bei der zweiten Aufgabe vor? Kann ich das mit l'Hospital lösen?   ─   userad9049 22.12.2021 um 12:33

Aus der i) folgt ja \( \frac{1}{\exp(x)} < \frac{n!}{x^n} \). Kommst du damit weiter?   ─   42 22.12.2021 um 12:46

Ich könnte es umstellen, sodass x^n / exp⁡(x) < n!
Aber wie bringt mich das beim Grenzwert weiter?
  ─   userad9049 22.12.2021 um 13:09

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