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Bei der ersten hast du das richtige Ergebnis raus.
Bei der zweiten ist $$68^{105}\equiv 3^{105}\equiv(3^{12})^8\cdot 3^3\equiv 3^3\equiv 1\mod 13$$ wobei wir im vorletzten Schritt den kleinen Satz von Fermat verwendet haben.
Bei der letzten Aufgabe gilt $$6^{47}=6^{45}\cdot 36=(3\cdot 6^{45})\cdot12$$ Welchen Wert hat der Ausdruck also \(\mod 12\)?
Bei der zweiten ist $$68^{105}\equiv 3^{105}\equiv(3^{12})^8\cdot 3^3\equiv 3^3\equiv 1\mod 13$$ wobei wir im vorletzten Schritt den kleinen Satz von Fermat verwendet haben.
Bei der letzten Aufgabe gilt $$6^{47}=6^{45}\cdot 36=(3\cdot 6^{45})\cdot12$$ Welchen Wert hat der Ausdruck also \(\mod 12\)?
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stal
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Ich verstehe leider nicht ganz, wie du das berechnet hast.... könntest du das nochmal expliziter erklären?
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milchshake08
03.05.2021 um 16:03
Erstmal ist wegen \(68\equiv 3\) auch \(68^{105}\equiv 3^{105}\). Nach dem kleinen Satz von Fermat gilt \(3^{12}\equiv 1\mod 13\). Dann gilt auch \(3^{24}\equiv 1,3^{36}\equiv 1\) usw. und eben auch \(3^{12\cdot8}\equiv 1\). Wegen \(3^{105}=3^{12\cdot 8+3}=3^{12\cdot8}\cdot3^3\) folgt also \(3^{105}\equiv 3^3\). Aber das ist \(27\), was eins mehr als ein Vielfaches von \(13\) ist.
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stal
03.05.2021 um 16:07
okay verstanden, so ist also die letzte Aufgabe a = 0 oder?
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milchshake08
03.05.2021 um 16:16
Genau.
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stal
03.05.2021 um 16:20
Danke dir! :)
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milchshake08
03.05.2021 um 16:25