Analytische Abschätzung bei 2-dim Interpolation

Aufrufe: 242     Aktiv: 26.04.2024 um 16:35

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Kann mir irgendjemand irgendwie bei dem Beweis des Lemmas helfen? Ich hab irgendwie keine Ansätz dafür.

EDIT vom 12.04.2024 um 11:33:

genau das ist meine rechnung sorry für die etwas verwirrende Darstellung, ich bin noch kein Experte in Latex. Und zwar kann ich jetzt die ersten beiden klammern locker durch deine vormulierten gleichungen beide im Betrag durch ne + ne abschätzen, ich bin nur verwirrt was ich mit den letzten ausdruck machen kann weil der muss ja irgendwie 2e ergeben aber die K(xi,ti) lassen sich durch keine von unseren formulierten formeln abschätzen

EDIT vom 12.04.2024 um 14:09:

sorry hier hatte ich noch kleine Fehler korrigiert

EDIT vom 15.04.2024 um 12:07:

hier ich habe jetzt nur aumgruppiert kann man heirauf direkt 1) oder 2) anwenden? Wo genau weil die Alpha und Beta und die Doppelsumme nerven hier

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Hier ein paar Ansätze, zusammenfügen musst Du selbst.
Wie benutzen $\sum \alpha_i(x)=\sum \beta_j(t)=1$. und benennen die beiden Ungleichungen mit $...<\epsilon$ mit (I) bzw. (II) (wobei in (II) ein Tippfehler korrigiert werden muss).
$\sum K(x,t)\beta_j - \sum_j\sum_i K(x_i,t)\beta_j\alpha_i$ ist betragsmässig $<\eta\epsilon$ wg (I)
$\sum K(x,t)\alpha_i - \sum_i\sum_j K(x,t_j)\beta_j\alpha_i$ ist betragsmässig $<\eta\epsilon$ wg (II)
$2K(x,t)=\sum K(x,t)\alpha_i+\sum K(x,t)\beta_j$
Zur Ungleichung am Ende: $2K(x,t)-2\sum\sum K(x_i,t_j)\alpha_i\beta_j =
2K(x,t)-\sum_i\sum_j K(x,t_j)\beta_j\alpha_i + \sum_i\sum_j K(x,t_j)\beta_j\alpha_i - \sum_i\sum_j K(x_i,t)\beta_j\alpha_i + \sum_i\sum_j K(x_i,t)\beta_j\alpha_i - \sum\sum K(x_i,t_j)\alpha_i\beta_j -\sum\sum K(x_i,t_j)\alpha_i\beta_j$
Nun umgruppieren und Betrag abschätzen gibt $<2\eta\epsilon +2\epsilon$.
Ohne es durchgerechnet zu haben, meine ich, dass es so geht. Es ist ja klar, dass man hier mit nahrhaften Nullen arbeiten muss und ein Summand gibt $\eta\epsilon$ und einer $\epsilon$.
Den Rest überlass ich Dir (schon aus Zeitgründen).
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Ich hab doch noch eine Frage und zwar was soll man mit dem letzten Term auf der rechten Seite machen? Man kann den doch nicht wirklich abschätzen weil er von xi und ti abhängt. Wie kommt man dann auf das 2e? weil durch umgruppierung bekomme ich locker 2ne aber die 2e sind mir noch nicht so klar wegen diesen Term   ─   userefc7f4 11.04.2024 um 19:56

Ich habe meine Rechnungen nicht zur Hand. Schreibe konkret, um was es geht, d.h. lade deine Rechnung oder den Term oben bei der Frage als Foto hoch.   ─   mikn 11.04.2024 um 23:11

Ah alles klar wusste nicht das es geht hab es jetzt oben huochgeladen, danke dir!   ─   userefc7f4 12.04.2024 um 11:33

Wie gesagt, zu den letzten 4 Summanden: umgruppieren, dann (I) für $t=t_j$ und (II) für $x=x_i$ benutzen. Probier mal und lade nur(!) Deine Rechnung dazu hoch (muss kein LaTeX sein, Foto geht auch).   ─   mikn 12.04.2024 um 15:15

Hi ich lade Mal meine Rechnung hoch ich verstehe nicht so ganz, wie ich 1) und 2) darauf anwenden kann, denn selbst wenn ich t=tj setze habe ich immernoch eine Doppelsumme und in jedem Summand ein Alpha und Beta sodass ich die Formeln gar nicht anwenden kann oder?   ─   userefc7f4 15.04.2024 um 12:03

Ich hab bisher noch nicht gesehen, was Du ausprobiert hast.
Also, zum ersten Summanden: Benutze $\sum_i f(x,t_j,)\alpha_i =f(x,t_j)$, in der dann entstehenden $\sum_j (...)\beta_j$ benutze Dreiecksungleichung und (I), dann $\sum_j \beta_j$=1.
Bei weiteren Fragen lege alle(!) Deine Rechenversuche bei.
  ─   mikn 16.04.2024 um 22:04

Hi danke auf jedenfall ich hab jetzt die Rechnung alles fertig und das stimmt auch jetzt alles nur eine kleine Frage und zwar hast du ganz am Anfangangenommen dass eben diese Terme oben kleiner als ne sind aber in der vorraussetzung steht ja dass diese summe über die alpha ODER über die beta kleiner als n sind. Du hast ja jetzt oben anegnommen das beides gilt, kann man den Bweies trotzdem so weiterführen? Danke dir für deine Mühen
  ─   userefc7f4 25.04.2024 um 02:57

Sorry, ja, das "oder" hab ich übersehen. Ich schaue mir nochmal an, welchen Einfluss das auf die Rechnung hat.   ─   mikn 25.04.2024 um 11:29

Bei genauerem Hinsehen sind noch weitere Fehler im Lemma: Ich bin ziemlich sicher, dass die Knoten $t_i\in [c,d]$ sein sollen (nicht in $[a,b]$), und die $\beta_i$ auf $[c,d]$ definiert sein sollen (nicht auf $[a,b]$). Danach Tippfehler bei "existiere".
Daher mutet mir das "oder" wie eine weitere Schlamperei an.
Es geht doch darum, dass aus zwei 1d-IP eine 2d-IP aufgebaut werden soll. Da wäre eine unsymmetrische Voraussetzung merkwürdig.
Und selbst wenn da "oder" steht, kann man o.B.d.A. auch "und" sagen, denn die Bedingungen gelten ja für sich alleine (endlich viele stetige Funktionen auf einem Kompaktum), also hat man "und" mit $\eta_1$ und $\eta_2$ und setzt dann $\eta:=\max \{\eta_1,\eta_2\}$.
  ─   mikn 26.04.2024 um 14:06

Ah ja das macht Sinn mega danke! Ja die t_i sind tatsächlich ein Tippfehler, aber das oder hab ich nochmal nachgefragt, ist wirklich in dem Satz. Sorry für die etwas längeren Abstände zwischen meinen Antworten. Ich danke dir für deine Mühen!!   ─   userefc7f4 26.04.2024 um 16:33

Gerne. War wirklich etwas mühselig, sich alle paar Tage wieder neu in die Summen reinzudenken. Aber ich denke, nun sollte alles geklärt sein.   ─   mikn 26.04.2024 um 16:35

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