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Bei Aufgabe a) hast Du das Pferd von hinten aufgezäumt. Du must starten mit "\(x=\lambda y\)", und daraus muss dann "\(|\langle x,y \rangle| = ||x||\cdot|| y||\)" folgen.
Also: Setzen wir voraus: \(x=\lambda y\)
Zu zeigen: \(|\langle x,y \rangle| = ||x||\cdot|| y||\)
Wenn man solche Gleichungen beweisen muss, ist es oft am einfachsten, beide Seiten auszurechnen und dann zu vergleichen, also:
Linke Seite: \(|\langle x,y \rangle| \;=\; |\langle \lambda y,y \rangle| \;=\; |\lambda \langle y,y \rangle| \;=\; |\lambda| \cdot |\langle y,y \rangle| \;=\; |\lambda| \cdot |\,||y||^2 \,| \;=\; |\lambda| \cdot ||y||^2 \).
Rechte Seite: \( ||x||\cdot||y|| \;=\; ||\lambda y||\cdot||y|| \;=\; \mbox{...eine kurze Rechnung ergibt } \;=\; |\lambda| \cdot ||y||^2 \).
Bei Aufgabe b) hast Du die Bedeutung von \(\gamma\) missverstanden. \(\gamma\) ist die gesamte Länge der Strecke AB, also das, was Du "l" genannt hast. Zu zeigen ist also: \(\beta^2 = \gamma\epsilon\).
Außerdem hast Du hier keinen einzigen Vektor definiert. Man könnte z.B. von den Ortsvektoren der Punkte A, B, C ausgehen. Dann muss man natürlich die Rechtwinkligkeit in Formeln gießen. Z.B. ist der Winkel oben im Dreieck rechtwinklig, d.h. \(\langle \vec{A}-\vec{C},\vec{B}-\vec{C}\rangle=0\).
Dann hat man noch einen rechten Winkel am rechten Ende der Strecke \(\epsilon\). Diesen Punkt könnte man vielleicht D nennen.
D liegt auf der Strecke BC. Auch das muss man in eine Formel gießen.
Der Abstand zu B und D beträgt \(\epsilon\). Auch das muss man in eine Formel gießen.
Kurz: Alles, was man in der Zeichnung so sieht, muss man in eine Formel gießen.
Und aus diesen ganzen Formeln muss sich dann \(\beta^2 = \gamma\epsilon\) ergeben.
Also: Setzen wir voraus: \(x=\lambda y\)
Zu zeigen: \(|\langle x,y \rangle| = ||x||\cdot|| y||\)
Wenn man solche Gleichungen beweisen muss, ist es oft am einfachsten, beide Seiten auszurechnen und dann zu vergleichen, also:
Linke Seite: \(|\langle x,y \rangle| \;=\; |\langle \lambda y,y \rangle| \;=\; |\lambda \langle y,y \rangle| \;=\; |\lambda| \cdot |\langle y,y \rangle| \;=\; |\lambda| \cdot |\,||y||^2 \,| \;=\; |\lambda| \cdot ||y||^2 \).
Rechte Seite: \( ||x||\cdot||y|| \;=\; ||\lambda y||\cdot||y|| \;=\; \mbox{...eine kurze Rechnung ergibt } \;=\; |\lambda| \cdot ||y||^2 \).
Bei Aufgabe b) hast Du die Bedeutung von \(\gamma\) missverstanden. \(\gamma\) ist die gesamte Länge der Strecke AB, also das, was Du "l" genannt hast. Zu zeigen ist also: \(\beta^2 = \gamma\epsilon\).
Außerdem hast Du hier keinen einzigen Vektor definiert. Man könnte z.B. von den Ortsvektoren der Punkte A, B, C ausgehen. Dann muss man natürlich die Rechtwinkligkeit in Formeln gießen. Z.B. ist der Winkel oben im Dreieck rechtwinklig, d.h. \(\langle \vec{A}-\vec{C},\vec{B}-\vec{C}\rangle=0\).
Dann hat man noch einen rechten Winkel am rechten Ende der Strecke \(\epsilon\). Diesen Punkt könnte man vielleicht D nennen.
D liegt auf der Strecke BC. Auch das muss man in eine Formel gießen.
Der Abstand zu B und D beträgt \(\epsilon\). Auch das muss man in eine Formel gießen.
Kurz: Alles, was man in der Zeichnung so sieht, muss man in eine Formel gießen.
Und aus diesen ganzen Formeln muss sich dann \(\beta^2 = \gamma\epsilon\) ergeben.
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m.simon.539
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Naja, im Text steht: "Gegeben sei ein rechtwinkeliges Dreieck mit den Seiten \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\)".
Da \(\alpha\) und \(\beta\) die Endpunkte A,B.C haben, muss mit diesem rechtwinkeligen Dreieck das Dreieck A,B,C gemeint sein.
Also ist \(\gamma\) eine komplette Dreiecksseite dieses Dreiecks, also die Strecke AB. ─ m.simon.539 31.10.2023 um 01:35
Da \(\alpha\) und \(\beta\) die Endpunkte A,B.C haben, muss mit diesem rechtwinkeligen Dreieck das Dreieck A,B,C gemeint sein.
Also ist \(\gamma\) eine komplette Dreiecksseite dieses Dreiecks, also die Strecke AB. ─ m.simon.539 31.10.2023 um 01:35
Deine Gleichungen
\(\large \langle \vec{A}-\vec{C},\vec{B}-\vec{C} \rangle=0 \;\;\;\;(1) \)
und
\(\large \langle \vec{D}-\vec{A},\vec{D}-\vec{C} \rangle=0 \;\;\;\;(2)\)
sind schon mal richtig.
Die Gleichungen in den letzten beiden Zeilen sind leider - bis auf eine - falsch. Die brauchen wir aber gar nicht.
Nun muss man noch ausdrücken, dass \(\vec D \) auf der Strecke AB liegt, aber nur \(\varepsilon\) von A entfernt. Das geht so:
\(\displaystyle \large \vec D -\vec A = \frac{\varepsilon}{\gamma} (\vec B -\vec A)\;\;\;\;\; (3)\).
Warum?
Nun, \( \large \vec B -\vec A\) ist der Vektor, der von A aus in Richtung B geht, und die Länge \(\gamma\) hat.
\( \large \displaystyle \frac{\varepsilon}{\gamma} (\vec B -\vec A)\) ist der Vektor, der von A aus in Richtung B geht, und die Länge \(\large \displaystyle \gamma \cdot \frac{\varepsilon}{\gamma} =\varepsilon\) hat.
Beginnen wie mit Gl. (2):
\(\large \langle \vec{D}-\vec{A},\vec{D}-\vec{C} \rangle=0 \)
Einsetzen von (3) liefert:
\(\large \displaystyle \left\langle \frac{\varepsilon}{\gamma} (\vec B -\vec A),\;\vec{D}-\vec{C} \right\rangle=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \displaystyle \left\langle \vec B -\vec A,\;\vec{D}-\vec{C} \right\rangle=0\;\;\Rightarrow\)
\(\large \displaystyle \left\langle \vec B -\vec A,\;\vec{D}-\vec{A}+\vec{A}-\vec{C} \right\rangle=0 \;\;\stackrel{(3)}{\Rightarrow}\)
\(\large \displaystyle \left\langle \vec B -\vec A,\;\frac{\varepsilon}{\gamma} (\vec{B}-\vec{A})+\vec{A}-\vec{C} \right\rangle=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \displaystyle \left\langle \vec B -\vec A,\;\frac{\varepsilon}{\gamma} (\vec{B}-\vec{A}) \right\rangle +
\langle \vec B -\vec A, \vec{A}-\vec{C} \rangle=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \displaystyle \frac{\varepsilon}{\gamma} |\vec B -\vec A|^2 + \langle \vec B -\vec A, \vec A-\vec C \rangle=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \displaystyle \frac{\varepsilon}{\gamma} \gamma^2 + \langle \vec B -\vec A, \vec{A}-\vec{C} \rangle=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \varepsilon\gamma + \langle (\vec B - \vec C) + (\vec C - \vec A), \vec{A}-\vec{C} \rangle=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \varepsilon\gamma +\langle \vec B - \vec C,\vec A-\vec C \rangle + \langle \vec C - \vec A, \vec A -\vec C \rangle=0 \;\;\stackrel{(1)}{\Rightarrow}\)
\(\large \varepsilon\gamma + \langle \vec C - \vec A, \vec{A}-\vec{C} \rangle=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \varepsilon\gamma - | \vec C - \vec A|^2=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \varepsilon\gamma - \beta^2=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\varepsilon\gamma = \beta^2\)
─ m.simon.539 01.11.2023 um 01:34
\(\large \langle \vec{A}-\vec{C},\vec{B}-\vec{C} \rangle=0 \;\;\;\;(1) \)
und
\(\large \langle \vec{D}-\vec{A},\vec{D}-\vec{C} \rangle=0 \;\;\;\;(2)\)
sind schon mal richtig.
Die Gleichungen in den letzten beiden Zeilen sind leider - bis auf eine - falsch. Die brauchen wir aber gar nicht.
Nun muss man noch ausdrücken, dass \(\vec D \) auf der Strecke AB liegt, aber nur \(\varepsilon\) von A entfernt. Das geht so:
\(\displaystyle \large \vec D -\vec A = \frac{\varepsilon}{\gamma} (\vec B -\vec A)\;\;\;\;\; (3)\).
Warum?
Nun, \( \large \vec B -\vec A\) ist der Vektor, der von A aus in Richtung B geht, und die Länge \(\gamma\) hat.
\( \large \displaystyle \frac{\varepsilon}{\gamma} (\vec B -\vec A)\) ist der Vektor, der von A aus in Richtung B geht, und die Länge \(\large \displaystyle \gamma \cdot \frac{\varepsilon}{\gamma} =\varepsilon\) hat.
Beginnen wie mit Gl. (2):
\(\large \langle \vec{D}-\vec{A},\vec{D}-\vec{C} \rangle=0 \)
Einsetzen von (3) liefert:
\(\large \displaystyle \left\langle \frac{\varepsilon}{\gamma} (\vec B -\vec A),\;\vec{D}-\vec{C} \right\rangle=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \displaystyle \left\langle \vec B -\vec A,\;\vec{D}-\vec{C} \right\rangle=0\;\;\Rightarrow\)
\(\large \displaystyle \left\langle \vec B -\vec A,\;\vec{D}-\vec{A}+\vec{A}-\vec{C} \right\rangle=0 \;\;\stackrel{(3)}{\Rightarrow}\)
\(\large \displaystyle \left\langle \vec B -\vec A,\;\frac{\varepsilon}{\gamma} (\vec{B}-\vec{A})+\vec{A}-\vec{C} \right\rangle=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \displaystyle \left\langle \vec B -\vec A,\;\frac{\varepsilon}{\gamma} (\vec{B}-\vec{A}) \right\rangle +
\langle \vec B -\vec A, \vec{A}-\vec{C} \rangle=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \displaystyle \frac{\varepsilon}{\gamma} |\vec B -\vec A|^2 + \langle \vec B -\vec A, \vec A-\vec C \rangle=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \displaystyle \frac{\varepsilon}{\gamma} \gamma^2 + \langle \vec B -\vec A, \vec{A}-\vec{C} \rangle=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \varepsilon\gamma + \langle (\vec B - \vec C) + (\vec C - \vec A), \vec{A}-\vec{C} \rangle=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \varepsilon\gamma +\langle \vec B - \vec C,\vec A-\vec C \rangle + \langle \vec C - \vec A, \vec A -\vec C \rangle=0 \;\;\stackrel{(1)}{\Rightarrow}\)
\(\large \varepsilon\gamma + \langle \vec C - \vec A, \vec{A}-\vec{C} \rangle=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \varepsilon\gamma - | \vec C - \vec A|^2=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \varepsilon\gamma - \beta^2=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\varepsilon\gamma = \beta^2\)
─ m.simon.539 01.11.2023 um 01:34
Ich habe ein paar Fragen:
Aber wieso ist denn mit y die ganze Strecke gemeint? die Abbildung zeigt doch ganz klar das von Punkt B zu C, die Seite als y vermerkt ist?
Ich habe alle Formel erstellt aber wie soll ich den diese nun zusammenfügen so das ich beweisen kann das beta^2 = ey ist? (Siehe Edit an)
─ ceko 30.10.2023 um 19:28