Rechtwinkliges Dreieck mit Vektoren und Flächen zeigen

Aufrufe: 252     Aktiv: 01.11.2023 um 01:34

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Guten Tag.

Ich weiß nicht ob das richtig ist was ich gerechnet habe. Aber ich bin zumindest nicht der einzigste in meiner Gruppe. Meine Kommiltone haben auch Probleme bei dieser Aufgabe. 

Ich habe veruscht diese Aufgabe zu rechnen und sie ist wirklich schwer.

Ich dachte wirklich ich könnte da etwas in meiner Lösung kürzen am Ende. Leider hab ich mich getäuscht.

 Aufgabenstellung:

Meine Lösung

EDIT vom 30.10.2023 um 19:53:


So das ist jetzt allese was ich definiert habe ich komm einfach nicht weiter

EDIT vom 30.10.2023 um 19:55:


So das ist das was ich alles formel reingesetzt habe
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Bei Aufgabe a) hast Du das Pferd von hinten aufgezäumt. Du must starten mit "\(x=\lambda y\)", und daraus muss dann "\(|\langle x,y \rangle| = ||x||\cdot|| y||\)" folgen.
Also: Setzen wir voraus: \(x=\lambda y\)
Zu zeigen: \(|\langle x,y \rangle| = ||x||\cdot|| y||\)
Wenn man solche Gleichungen beweisen muss, ist es oft am einfachsten, beide Seiten auszurechnen und dann zu vergleichen, also:
Linke Seite: \(|\langle x,y \rangle| \;=\; |\langle \lambda y,y \rangle| \;=\; |\lambda \langle  y,y \rangle| \;=\; |\lambda| \cdot |\langle  y,y \rangle| \;=\; |\lambda| \cdot |\,||y||^2 \,| \;=\; |\lambda| \cdot ||y||^2  \).
Rechte Seite: \( ||x||\cdot||y|| \;=\; ||\lambda y||\cdot||y|| \;=\; \mbox{...eine kurze Rechnung ergibt } \;=\; |\lambda| \cdot ||y||^2 \).

Bei Aufgabe b) hast Du die Bedeutung von \(\gamma\) missverstanden. \(\gamma\) ist die gesamte Länge der Strecke AB, also das, was Du "l" genannt hast. Zu zeigen ist also: \(\beta^2 = \gamma\epsilon\).
Außerdem hast Du hier keinen einzigen Vektor definiert. Man könnte z.B. von den Ortsvektoren der Punkte A, B, C ausgehen. Dann muss man natürlich die Rechtwinkligkeit in Formeln gießen. Z.B. ist der Winkel oben im Dreieck rechtwinklig, d.h. \(\langle \vec{A}-\vec{C},\vec{B}-\vec{C}\rangle=0\).
Dann hat man noch einen rechten Winkel am rechten Ende der Strecke \(\epsilon\). Diesen Punkt könnte man vielleicht D nennen.
D liegt auf der Strecke BC. Auch das muss man in eine Formel gießen.
Der Abstand zu B und D beträgt \(\epsilon\). Auch das muss man in eine Formel gießen.
Kurz: Alles, was man in der Zeichnung so sieht, muss man in eine Formel gießen.
Und aus diesen ganzen Formeln muss sich dann \(\beta^2 = \gamma\epsilon\) ergeben.
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Ich habe ein paar Fragen:
Aber wieso ist denn mit y die ganze Strecke gemeint? die Abbildung zeigt doch ganz klar das von Punkt B zu C, die Seite als y vermerkt ist?

Ich habe alle Formel erstellt aber wie soll ich den diese nun zusammenfügen so das ich beweisen kann das beta^2 = ey ist? (Siehe Edit an)
  ─   ceko 30.10.2023 um 19:28

Naja, im Text steht: "Gegeben sei ein rechtwinkeliges Dreieck mit den Seiten \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\)".
Da \(\alpha\) und \(\beta\) die Endpunkte A,B.C haben, muss mit diesem rechtwinkeligen Dreieck das Dreieck A,B,C gemeint sein.
Also ist \(\gamma\) eine komplette Dreiecksseite dieses Dreiecks, also die Strecke AB.
  ─   m.simon.539 31.10.2023 um 01:35

Deine Gleichungen
\(\large \langle \vec{A}-\vec{C},\vec{B}-\vec{C} \rangle=0 \;\;\;\;(1) \)
und
\(\large \langle \vec{D}-\vec{A},\vec{D}-\vec{C} \rangle=0 \;\;\;\;(2)\)
sind schon mal richtig.

Die Gleichungen in den letzten beiden Zeilen sind leider - bis auf eine - falsch. Die brauchen wir aber gar nicht.

Nun muss man noch ausdrücken, dass \(\vec D \) auf der Strecke AB liegt, aber nur \(\varepsilon\) von A entfernt. Das geht so:
\(\displaystyle \large \vec D -\vec A = \frac{\varepsilon}{\gamma} (\vec B -\vec A)\;\;\;\;\; (3)\).
Warum?
Nun, \( \large \vec B -\vec A\) ist der Vektor, der von A aus in Richtung B geht, und die Länge \(\gamma\) hat.
\( \large \displaystyle \frac{\varepsilon}{\gamma} (\vec B -\vec A)\) ist der Vektor, der von A aus in Richtung B geht, und die Länge \(\large \displaystyle \gamma \cdot \frac{\varepsilon}{\gamma} =\varepsilon\) hat.

Beginnen wie mit Gl. (2):
\(\large \langle \vec{D}-\vec{A},\vec{D}-\vec{C} \rangle=0 \)

Einsetzen von (3) liefert:
\(\large \displaystyle \left\langle \frac{\varepsilon}{\gamma} (\vec B -\vec A),\;\vec{D}-\vec{C} \right\rangle=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \displaystyle \left\langle \vec B -\vec A,\;\vec{D}-\vec{C} \right\rangle=0\;\;\Rightarrow\)
\(\large \displaystyle \left\langle \vec B -\vec A,\;\vec{D}-\vec{A}+\vec{A}-\vec{C} \right\rangle=0 \;\;\stackrel{(3)}{\Rightarrow}\)
\(\large \displaystyle \left\langle \vec B -\vec A,\;\frac{\varepsilon}{\gamma} (\vec{B}-\vec{A})+\vec{A}-\vec{C} \right\rangle=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \displaystyle \left\langle \vec B -\vec A,\;\frac{\varepsilon}{\gamma} (\vec{B}-\vec{A}) \right\rangle +
\langle \vec B -\vec A, \vec{A}-\vec{C} \rangle=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \displaystyle \frac{\varepsilon}{\gamma} |\vec B -\vec A|^2 + \langle \vec B -\vec A, \vec A-\vec C \rangle=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \displaystyle \frac{\varepsilon}{\gamma} \gamma^2 + \langle \vec B -\vec A, \vec{A}-\vec{C} \rangle=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \varepsilon\gamma + \langle (\vec B - \vec C) + (\vec C - \vec A), \vec{A}-\vec{C} \rangle=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \varepsilon\gamma +\langle \vec B - \vec C,\vec A-\vec C \rangle + \langle \vec C - \vec A, \vec A -\vec C \rangle=0 \;\;\stackrel{(1)}{\Rightarrow}\)
\(\large \varepsilon\gamma + \langle \vec C - \vec A, \vec{A}-\vec{C} \rangle=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \varepsilon\gamma - | \vec C - \vec A|^2=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\large \varepsilon\gamma - \beta^2=0 \;\;\Rightarrow\)
\(\varepsilon\gamma = \beta^2\)


  ─   m.simon.539 01.11.2023 um 01:34

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Bei Teil a) hast du gar nichts gezeigt. Verwende auch auf der rechten Seite die andere Darstellung von $x$.

Teil b) ist reinstes Chaos und alles steht kreuz und quer. Hier soll der Kathetensatz gezeigt werden. Definiere sauber die Vektoren und verwende Orthogonalitätsbedingungen und das Skalarprodukt. Schreibe sauber auf, was zu zeigen ist und forme die linke Seite dann soweit um, dass am Ende die rechte Seite da steht.
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Muss ich den Kathetensatz können um diese Aufgabe zu lösen weil den hab ich nie gelernt?   ─   ceko 30.10.2023 um 19:29

Nein, musst du nicht.   ─   cauchy 30.10.2023 um 20:06

Also wie sieht es denn mit dem neuen Edit aus? Ich habe alle Bedingungen und alle Formel wie von Herrn Simon genannt aufgeschrieben. und in als Formel Satz des Pythagoras eingeschrieben. Ich weiß einfach nicht mehr weiter   ─   ceko 30.10.2023 um 21:10

Also ich schau mir mal jetzt alles wieder zu Vektoren an. Hab das Gefühl da sind noch große Lücken das ich die Aufgabe überhaupt anfangen kann.   ─   ceko 30.10.2023 um 21:42

Der Satz des Pythagoras ist falsch.

Ich denke nicht, dass es an den Lücken liegt. Es liegt viel mehr daran, dass du keine strukturierten Beweise führst. Deswegen kann man auch kaum erkennen, ob das, was man tut, sinnvoll ist. Und es fällt dann auch schwer, Dinge auszuprobieren. Mit einfach Formeln hinschreiben ist es nicht getan. Man muss schon überlegen, wo man anfängt und wo man hin möchte. Vektoren hast du bspw. immer noch keine definiert.
  ─   cauchy 30.10.2023 um 22:38

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