Monotonie der Folge a_n,neN = n*cos(PI/n) prüfen

Aufrufe: 33     Aktiv: 09.02.2021 um 12:46

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Wie prüft man am besten die Monotonie der Folge a_n,neN = n*cos(PI/n)?
Die Folge ist nach unten beschränkt und wohl monoton steigend. Ist es vielleicht empfehlenswert die Induktion mithilfe der Reihendarstellung zu machen?
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Es genügt zu zeigen, dass \(a_{n+1}>a_n\) für alle \(n\in\mathbb N\). Es gilt sowohl \(n+1>n\) als auch \(\cos\frac\pi{n+1}>\cos\frac\pi n\) (da \(\cos x\) im Intervall \([0,\pi]\) streng monoton fällt und die Folge \((\frac\pi n)_n\) in diesem Intervall liegt und ebenfalls streng monoton fällt), also gilt das auch für ihr Produkt \((n+1)\cos\frac\pi{n+1}>n\cos\frac\pi n\) und du bist fertig.
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