Hallo,

du nimmst an, es gilt:

$$(a,b)\sim(a',b')\quad\text{und}\quad(c,d)\sim(c',d').$$

Jetzt möchtest du 

$$(a+c,b+d)\sim(a'+c',b'+d')$$

zeigen. Dank der Definition ist es äquivalent folgendes zu zeigen:

$$(a+c)+(b'+d')=(b+d)+(a'+c')$$

du hast aber ja schon 

$$a+b'=b+a'\quad\text{und}\quad c+d'=d+c'.$$

Somit folgt:

$$(a+c)+(b'+d')=(a+b')+(c+d')=(b+a')+(d+c')=(b+d)+(a'+c')$$

und deine zu zeigende Gleichung ist gezeigt, weil Kommutativität und Assoziativität für natürliche Zahlen gelten. Das benutzt du im ersten und dritten Schritt und im zweiten setzt du deine Gleichungen ein! :)

Zu deiner zweiten Frage: \((a+c,b+d)\) ist keine Menge, sondern ein 2-Tupel aus \(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\). (siehe https://youtu.be/2czzi3kwJOU Analysis 012 - Kartesisches Produkt). Die eckigen Klammern drum herum sind die Äquivalenzklasse, also die Menge aller 2-Tupel die zu dem äquivalent sind, was in der eckigen Klammer steht. Zum Beispiel:

$$[(1,1)]=\{(a,b)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}:(1,1)\sim(a,b)\}.$$ 

Du hast die Äquivalenzklasse von \((c,b)\) aufgeschrieben, das ist erlaubt, aber das \(+a+d\) und dann davon wieder die Äquivalenzklasse zu bilden, macht meines Erachtens keinen Sinn. 

Wichtig ist, dass \((a,b)\) Elemente sind und \([(a,b)]\) Mengen.