Jordan Matrix

Erste Frage Aufrufe: 62     Aktiv: 17.07.2022 um 18:40

0
Hallo,
habe eine Frage wie ich von den Informationen die Jordan-Matrix ohne die Formel anzuwenden angeben kann. Gegeben sind die Eigenwerte, die algebraische Vielfachheit und die geometrische Vielfachheit.

Zum Beispiel wenn ich zwei Eigenwerte habe, ist es egal wie ich die anordne ? Also ich habe zum Beispiel Eigenwert 2 mit alg.V.  2 und Eigenwert 7 mit alg.V. vielfachheit 1. Ist es dann egal wie rum ich die anordne, also erstmal die diag(2,2,7) oder diag(7,2,2). Und eine zweite Frage. Die geoemtrische Vielfachheit gibt mir ja an, wie viel jordanböcke ich benötige. Jetzt zu einem andren fall, habe Eigenwert 4 algbraische vielfachheit 3, also diag(4,4,4). Bei einer geomtrischen Vielfachheit von 3 hätte ich einfach nur 3 jordanbläcke also eine ganz normale diagonalmatrix. Jetzt aber bei geomtrische Vielfachheit 2, da brauche ich ja 2 blöcke.  Spielt es hier eine Rolle wie die Blöcke angeordnet sein müssen und wenn ja wie finde ich das raus ?
gefragt

Punkte: 10

 
Kommentar schreiben
2 Antworten
0
Nein die Reihenfolge der Jordanblöcke ist nicht eindeutig. Eine kurze Verständnisfrage für dich: Lass uns sagen EW 4 hat algebraische Vielfachheit 4 und geometrische Vielfachheit 2, welche möglichen Blöcke es gibt? An diese kurze Frage du siehst,  dass man manchmal noch mehr Informationen braucht (weißt du auch welche?). Für algebraische Vielfachheit kleiner gleich 3 braucht man die aber nie, das hat kombinatorische Gründe
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 9.19K

 

Genau habe das grade auch bei meiner Aufgabe erkannt. Zu deiner ersten Frage, sehe 3 Jordanblöcke als Möglichkeit, kann sein, dass es auf die schnelle was übersehen habe. Bei meiner Aufgabe war Eigenwert 4 mit algebraische vielfachheit von 2 und Eigenwert 5 mit algebraische Vielfachheit von 1 gegeben. beide hatten eine geometrische Vielfachheit von 1. Da gibt es halt nur eine Möglichkeit. Deswegen war auch meine erste Frage, ob es egal ist wie rum die Eigenwerte angeordnet werden müssen, weil dann gäbe es in meinem zwei Möglichkeiten. Aber das ist ja Egal.   ─   user372b61 17.07.2022 um 18:30

In meine Frage kann es zu EW 2 entweder 2 Blöcke der Größe 2 geben oder 1 Block der Größe 3 und ein Block Größe 1   ─   mathejean 17.07.2022 um 18:40

Kommentar schreiben

0
Deine Frage ist völlig berechtigt. Zu dieser Art von Vorgaben kann man eine Jordan-Matrix finden, aber nicht die. Weil die Reihenfolge nicht festgelegt ist. Es gibt also meistens mehrere Möglichkeiten.
Wenn man nicht nur mit der Jordan-Matrix arbeitet, sondern auch mit den Transformationsmatrizen, muss deren Anordnung zu der in Jordan-Matrix passen, aber vermutlich ist dir das eh klar.
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 26.7K

 

Alles klar, danke.
  ─   user372b61 17.07.2022 um 18:31

Kommentar schreiben