Ich scheitere an dieser Aufgabe (Brüche, Potenzen)

Erste Frage Aufrufe: 90     Aktiv: 1 Woche, 1 Tag her

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Liebe Leute,

ich verzweifle derzeit beim Mathestart für die Fachhochschulreife Wirtschaft. Kann mir jemand einen Lösungsweg für die folgenden Aufgaben geben? Die Lösungen habe ich, nur keine Ahnung wie ich dahin komme. Stundenlanges rechnen brachte bisher nichts.

 

Lösung zu 1) 1 - a

Lösung zu 2) 4a*(b^2+a^2) / b^3

 

 

Vielen Dank schon im Voraus!!!

 

 

gefragt 1 Woche, 2 Tage her
tcvd6588
Punkte: 10

 
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1 Antwort
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Vielleicht kommst du mit folgenden Potenzgesetzen etwas besser vorran \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\) und \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\). Dabei sei zu erwähnen, dass \(1^n=1\) stets gilt.

Das zweite Potenzgesetz hilft dir also dahingehend weiter, dass du bei \(\left(\dfrac{1-a}{1}\right)^{-5}\) den Zähler und Nenner vertauschen kannst, dafür das Minus weglassen kannst.

Außerdem sei auch das Reziproke erwähnt. Man kann also statt \(:\dfrac{a}{b}\) auch \(\cdot \dfrac{b}{a}\) rechnen. Weiterhin 

Damit ergibt sich für deine erste Bruchgleichung:

\(\left[\left(\dfrac{1}{1+a}\right)^4 :\left(\dfrac{1-a}{1}\right)^{-5}\right] \cdot \left(\dfrac{1-a}{1+a}\right)^{-4} =\left[\left(\dfrac{1}{1+a}\right)^4 :\left(\dfrac{1}{1-a}\right)^5\right]\cdot \left(\dfrac{1+a}{1-a}\right)^4 =\left(\dfrac{1}{1+a}\right)^4 \cdot \left(\dfrac{1-a}{1}\right)^5 \cdot \left(\dfrac{1+a}{1-a}\right)^4  =\dfrac{(1-a)^5 \cdot (1+a)^4}{(1+a)^4 \cdot (1-a)^4} =1-a\)

Im letzten Schritt kürzt sich fast alles heraus. 

Für deine zweite Bruchgleichung kannst du im Nenner die \(6\) in die Klammer reinmultiplizieren und erhälst \(6x^2-12ab\). Diese kürzt sich mit der Klammer im Zähler weg und übrig bleibt also insgesamt:

\(\dfrac{4a}{b}+\dfrac{(4a)^3}{b^3}\)

Dann bildest du den Hauptnenner und fasst zusammen. Als Tipp noch, wie für die Division gilt auch für die Multiplikation \((a\cdot b)^n =a^n\cdot b^n\). Dies kannst du auf \((4a)^3\) anwenden. Übrigens stimmt deine Lösung für die zweite nicht ...herauskommen muss \(\dfrac{4a\cdot (b^2+16a^2)}{b^3}\)

 

Hoffe das hilft dir weiter.

geantwortet 1 Woche, 2 Tage her
maqu
Punkte: 3.11K
 

Wie nett ist das denn... Vielen vielen Dank. Ich werde gleich alles Schritt für Schritt durchgehen, so wie du es erklärt hast. Melde mich danach nochmal.   ─   tcvd6588 1 Woche, 2 Tage her

Immer gern :)   ─   maqu 1 Woche, 2 Tage her

Die erste Aufgabe konnte ich nun sehr gut nachvollziehen. Das habe ich dank dir gut verstanden. Magst du mir zur zweiten Aufgabe noch kurz etwas erklären? Die ersten Schritte bis: 4a/b + (4a)^3/b^3 habe ich verstanden. Wie genau ich diese beiden Terme auf einen Nenner bringe, erschließt sich mir noch nicht. Ich hoffe du kannst mir das noch erklären. Viele Grüße!
Ok, ich erweitere den Nenner mit *b^2. Aber wie addiere ich bloß diese beiden Terme....
  ─   tcvd6588 1 Woche, 2 Tage her

na du hast ja schon gut erkannt dass du den linken Term mit \(b^2\) erweitern musst. Wenn zwei Brüche den gleichen Nenner haben, kann man die Summe (oder Differenz) auch in einen gemeinsamen Zähler schreiben. Also:
\(\dfrac{4a}{b}+ \dfrac{(4a)^3}{b^3} =\dfrac{4ab^2}{b^3} +\dfrac{64a^3}{b^3} =\dfrac{4ab^2+64a^3}{b^3}\)
Dann eigentlich nur noch im letzten Schritt den Faktor im Zähler ausklammern, der in beiden Summanden enthalten ist. Hoffe damit schließt sich die letzte Verständnislücke ;)
  ─   maqu 1 Woche, 1 Tag her

Das sieht auch sehr verständlich aus. Allerdings frage ich mich selbst jetzt noch, wie ich nach dem Schritt auf das Endergebnis komme. Als in diesem Fall ist im Zähler 4ab^2 + 64a^3. Endergebnis 16a^2 im Zähler. Also wie werden die 64a^3 zu 16a^2 🙈
Offenbar bin ich ein ganz schwieriger Fall 🙂
  ─   tcvd6588 1 Woche, 1 Tag her

Wenn du mir das zuletzt noch erklären könntest, würde ich mich sehr freuen :)   ─   tcvd6588 1 Woche, 1 Tag her

Ich klammere \(4a\) aus, da es in beiden Termen des Zählers vorkommt. Ich teile also \(64a^3\) durch \(4a\) und komme auf \(16a^2\). Wenn du dir dein Ergebnis anschaust und stattdessen die \(4a\) reinmultiplizierst (also die Klammer auflöst) dann kommst du auch wieder auf den Term \(4ab^2+64a^3\).   ─   maqu 1 Woche, 1 Tag her
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