Bestimme f°g und g°f

Aufrufe: 136     Aktiv: 07.08.2021 um 13:00

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Hallo, ich muss bei der folgenden Aufgabe f°g und g°f bestimmen, wobei halt gilt:
f={1. sin(x) 2. x^2
g={1. arcsin(x) 2. arccos(x)

Also meine Vorgehensweise wäre so:

f°g= { 1. sin(arcsin) 2. arccos^2 
Ist das richtig? Beides sieht irgendwie komisch und falsch aus.

g°f={1. arcsin(sin) 2. arccos(x^2)
Ist das richtig?

Und wie wäre meine weitere Vorgehensweise?
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Dir fehlt teilweise die Variable, also sin (arcsin (x)) , arccos^2 (x)....
Wo du eine Funktion mit ihrerUmkehrfunktion verkettest, kannst du noch vereinfachen .
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selbstständig, Punkte: 8.95K

 

Die Schreibweise ohne Variablen ist völlig ok, also z.B. \(f\circ g = sin\circ arcsin\). Man darf halt nur nicht mischen, also z.B. auf der linken Seite ohne x, auf der anderen mit x. Und beim Vereinfachen muss man aufpassen, weil das den Definitionsbereich (der vereinfachten Verkettung) einschränkt. Der muss dann dazu notiert werden.
Mehr zu tun ist bei der Aufgabe nicht.
  ─   mikn 29.07.2021 um 14:51

@mikn Nachfrage Schreibweise: mit Verkettungssymbol ohne Variable klar, hier wurde aber die Schreibweise "von", also mit der inneren Funktion in Klammer gewählt. Darf das dann auch ohne Variable?   ─   monimust 30.07.2021 um 08:37

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@monimust sin(arcsin) würde ich auch nicht akzeptieren aber darüber kann man vermutlich unterschiedlicher Meinung sein.. arccos^2 würde ich dagegen akzeptieren.
Ich finde es gut, dass der Frager offensichtlich versucht hat, hier mit Funktionen zu formulieren (im Unterschied zu Funktionswerten), indem er mit $f\circ g$ anfängt und es dann nicht sooo falsch weitergeht. Das sieht man ja hier im Forum sehr selten. Dem wollte ich mit meinem Kommentar eine positive Rückmeldung geben.
  ─   mikn 30.07.2021 um 13:38

Also sin(arcsin) ist hier falsch? Tu t mir leid, dass ich mich bis jetzt nicht gemeldet habe.   ─   anonym390d4 07.08.2021 um 09:03

Nicht direkt falsch. Es geht eher um die Notation. Man bezeichnet $f$ als Funktion, aber $f(x)$ hingegen als den Funktionswert von $f$ an der Stelle $x$. Das überträgt sich dann natürlich auch auf die Verkettung. Also $f\circ g$ und $g\circ f$ sind zwei Funktionen. Dann ist die Notation $f\circ g=\sin(\arcsin)$ nicht so schön. Zumal $\sin(\arcsin)=\mathrm{Id}$ (Identität mit $\mathrm{Id}(x)=x$), da Funktion und Umkehrfunktion. Hingegen nur $\arccos^2$ zu schreiben, ist dann wieder in Ordnung. Wenn also mehrere Funktionen verschachtelt sind, wie im ersten Fall, ist es ziemlich unschön, das Argument wegzulassen. Besser wäre hier dann das Argument mitzuführen: $(f\circ g)(x)= \sin(\arcsin(x))$.   ─   cauchy 07.08.2021 um 09:28

Üblicherweise wechselt man seine Denk/Rechen/Vorgehensweise ja nicht innerhalb einer Rechnung, und da du auch mit Variable gearbeitet hast, würde ich diese Notation durchgängig eisetzen, selbst wenn die andere Schreibweise akzeptabel wäre.   ─   monimust 07.08.2021 um 09:43

Sicherheitshalbrer nochmal: Achtung bei Vereinfachungen. $\sin\circ\arcsin = Id$ auf dem gesamten Defbereich, also auf $[-1,1]$. Aber $\arcsin\circ \sin$ ist $\bf nicht$ $Id$ auf ganz R. Wo das gilt, hängt von der Def von $\arcsin$ ab.   ─   mikn 07.08.2021 um 13:00

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