Injektiv, surjektiv von R^2 nach R^2

Aufrufe: 102     Aktiv: 24.04.2022 um 23:15

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Hallo zusammen,
ich rechne gerade an dieser Aufgabe und bin mir nicht sicher ob ich es richtig gemacht habe. Bei der Injektivität bin ich zu einem Ergebnis gekommen und ich weiß nicht ob ich es richtig gerechnet habe. Bei der surjektivität habe ich angefangen mit dem Ansatz doch ich weiß nicht mehr weiter. Könnte mir jemand bitte helfen

EDIT vom 24.04.2022 um 20:06:

Ich habe den Fehler mit dem u behoben.

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Student, Punkte: 68

 
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Der Beweis für injektiv ist komplett richtig.
Bei surjektiv hast Du ein Bezeichnungsdurcheinander veranstaltet und bist dem selbst anscheinend zum Opfer gefallen. Es gibt genügend Buchstaben, man muss keinen zweimal in versch. Bedeutung verwenden.
z=(u,v) vorgeben, gut. Dann ist aber der Buchstabe u vergeben. Bei Dir ist einmal u in R, und einmal in R^2. Das kann nicht gut gehen. Gesucht ist nun (x,y) mit h(x,y)=(u,v). Rechne damit.
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Lehrer/Professor, Punkte: 23.96K

 

Das habe ich garnicht gemerkt. Habe es jetzt geändert. Ich habe jetzt die surjektivität zuende bewiesen, doch ich bin mir da sehr unsicher. Ich habe dort einfach nach einen der variablen umgestellt und dann wieder in die Gleichung eingesetzt. Mit dieser Methode wäre doch alles subjektiv. So ist es ja quasi unmöglich dass es nicht surjektiv ist. Deswegen kann ich mir nicht vorstellen, dass es richtig sein kann. ( siehe edit bzw. neues foto)   ─   mbstudi 24.04.2022 um 20:10

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Das ist alles ok so. Du solltest am Ende (vor dem "$\Longrightarrow h$ ist surjektiv") nochmal als Ergebnis den gesuchten, und nun gefundenen, Vektor $(x,y)$ explizit angeben, also $(x,y)=(\frac{u+4}6, v-\frac{u+4}6)$, dieser darf nur von $(u,v)$ abhängen.
Es ist richtig, dass es bei dieser einfachen Form fast immer auf surjektiv rausläuft. Aber rechne doch mal $h(x,y)=(x+y,x+y)$ durch. Du siehst vielleicht auch sofort, dass dieses $h$ nicht surjektiv ist, oder? Oder bei nichtlinearen Funktionen kann sowieso alles mögliche passieren.
Nachtrag: Die Abb. $h$ ist linear, daher greift hier der Dimensionssatz, der Dir zu Deiner anderen Frage erklärt wurde. Insb. folgt damit, dass $h$ surjektiv sein muss, wenn sie injektiv ist. Das wäre also eine Möglichkeit surjektiv nachzuweisen ohne zu rechnen.
  ─   mikn 24.04.2022 um 22:33

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