Mal einige Überlegungen: Auf einer zwei-elementigen Menge gibt es erstmal 16 "verschiedene" Relationen, denn es gibt vier mögliche Paare (a,a), (a,b), (b,a) und (b,b) und jedes dieser Paare kann Teil der Relation sein oder nicht.
Soll die Relation symmetrisch sein, reduziert sich die Anzahl auf nur noch 8, denn dann ist die Relation durch den Wert auf (a,b) schon für (b,a) festgelegt.
Von diesen 8 sind aber einige isomorph. Der einzig mögliche Isomorphismus ist der, der die beiden Elemente der Menge vertauscht (es ist ja keines ausgezeichnet), das liefert eine neue Relation, die isomorph zur ursprünglichen ist.
Das macht aber nur dann einen Unterschied, wenn der Wert der Relation auf (a,a) und (b,b) nicht identisch ist.
Summa Summarum kommt man also auf 6 Isomorphieklassen:
\( R_1 = \{ \} \)
\( R_2 = \{ (a,a) \} \cong R_2' = \{ (b,b) \} \)
\( R_3 = \{ (a,a), (b,b) \} \)
\( R_4 = \{ (a,b), (b,a) \} \)
\( R_5 = \{ (a,b), (b,a) , (a,a) \} \cong R_5' = \{ (a,b), (b,a) , (b,b) \} \)
\( R_6 = \{ (a,b), (b,a) , (a,a), (b,b) \} \)
Softwarearchitekt, Punkte: 115
Soll die Relation symmetrisch sein, reduziert sich die Anzahl auf nur noch 8, denn dann ist die Relation durch den Wert auf (a,b) schon für (b,a) festgelegt.
Von diesen 8 sind aber einige isomorph. Der einzig mögliche Isomorphismus ist der, der die beiden Elemente der Menge vertauscht (es ist ja keines ausgezeichnet), das liefert eine neue Relation, die isomorph zur ursprünglichen ist.
Das macht aber nur dann einen Unterschied, wenn der Wert der Relation auf (a,a) und (b,b) nicht identisch ist.
Summa Summarum kommt man also auf 6 Isomorphieklassen:
\( R_1 = \{ \} \)
\( R_2 = \{ (a,a) \} \cong R_2' = \{ (b,b) \} \)
\( R_3 = \{ (a,a), (b,b) \} \)
\( R_4 = \{ (a,b), (b,a) \} \)
\( R_5 = \{ (a,b), (b,a) , (a,a) \} \cong R_5' = \{ (a,b), (b,a) , (b,b) \} \)
\( R_6 = \{ (a,b), (b,a) , (a,a), (b,b) \} \)
─ dr_lars 05.07.2019 um 14:37