Bestimmung von Lösungen Intervall 0-360 Grad

Aufrufe: 80     Aktiv: 05.07.2024 um 23:41

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cos (alpha) * cos (beta) = 0,25 * Wurzel von 6
alpha - beta = 15 Grad


Idee:
Evtl. Additionstheorem für cosinus alpha - beta wegen alpha - beta = 15 Grad, aber wie weiter?
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Es gibt eine komplizierte Art, die Lösungen zu bestimmen, und eine einfache.
Die komplizierte Art besteht aus der mehrfachen Anwendung der Additionstheoreme.

Die einfache benutzt folgende Wertetabelle für den Kosinus, welche in Formelsammlungen zu finden ist:
\(\displaystyle  \cos(0°)=1,\;\;  \cos(30°)=\frac{\sqrt{3}}{2},\;\;\displaystyle \cos(45°)=\frac{1}{\sqrt{2}},\;\;
  \cos(60°)=\frac{1}{2},\;\; \cos(90°)=0\).
Mit Hilfe dieser Tabelle und durch plumpes Ausprobieren kommst Du auf Lösungen der Gleichung \(\cos(\alpha)\cos(\alpha+15°) = \frac{\sqrt{6}}{4} \)

Mit Hilfe der Gleichung \(\cos(180°-\alpha) = -\cos(\alpha) \) kannst Du obige Tabelle erweitern, und eine weitere Lösung ermitteln.
Mit Hilfe der Gleichung \(\cos(360°-\alpha) = \cos(\alpha) \) kannst Du obige Tabelle nochmals erweitern und eine dritte und vierte Lösung bestimmen.

Falls noch Fragen sind, oder die Gleichung doch mit den Additionstheoremen gelösten werden müssen, bitte nochmal melden.
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Vielen Dank.

Aber die Aufgabe soll tatsächlich mit den Additionstheoremen gelöst werden.

Angeblich sollen Additionstheoreme addiert werden..?
  ─   jgu 04.07.2024 um 22:39

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Zu lösen ist die Gleichung \(\displaystyle \cos(\alpha)\cos(\alpha+15°) = \frac{\sqrt{6}}{4} \)         (*)
Nun wendet man das Additionstheorem für den cos auf \(\cos(\alpha+15°)\) an, und klammert aus:
\(\displaystyle \cos^2(\alpha)\cos(15°)-\sin(\alpha)\cos(\alpha)\sin(15°) = \frac{\sqrt{6}}{4} \)        (1)

Aus dem Additionstheorem für den cos folgt:
\(\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha)-1\)
Daraus folgt: \(\displaystyle \cos^2(\alpha) = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}\)            (2)

Aus dem Additionstheorem für den sin folgt: \(\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\).
Daraus folgt: \(\displaystyle \sin(\alpha)\cos(\alpha)= \frac{\sin(2\alpha)}{2}\)            (3)

(2) und (3) in (1) eingesetzt ergibt
\(\displaystyle \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}\cdot \cos(15°) - \frac{\sin(2\alpha)}{2}\cdot \sin(15°) = \frac{\sqrt{6}}{4} \)
Daraus folgt: \(\displaystyle \cos(2\alpha) \cos(15°) - \sin(2\alpha) \sin(15°) = \frac{\sqrt{6}}{2}-\cos(15°) \)

Nun kann man das Additionstheorem für den cos rückwärts anwenden:
\(\displaystyle \cos(2\alpha+15°) = \frac{\sqrt{6}}{2}-\cos(15°) \)         
Mit
    \(\beta=2\alpha+15°\)      (4)
folgt:
\(\displaystyle \cos(\beta) = \frac{\sqrt{6}}{2}-\cos(15°) \)         
Anwenden des arccos auf beide Seiten ergibt eine Lösung: \(\beta=75°\).
Da \(\cos(180°-\beta) = \cos(\beta)\), ergibt sich eine zweite Lösung: \(\beta=180°-75° = 105°\).
Da \(\cos(360°+\beta) = \cos(\beta)\), ergeben sich zwei weitere Lösungen \(\beta=360°+75°,\; \beta=360°+105°\).
Mit (4) ergeben sich daraus vier mögliche Lösungen von (*).
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