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Hallo Zusammen

Ich hätte da eine Optimierungsaufgabe, die ich mit der Lagrangefunktion lösen sollte. Die Aufgabe lautet, die Seitenlängen \((x,y,z)\in \mathbb{R}^3- \{(0,0,0)\}\) des Quaders mit dem kleinsten Oberflächeninhalt zu finden unter der Bedingung dass das Volumen 1 ist. Ich habe also die Lagrangefunktion aufgestellt \(L(x,y,z,\lambda)=2(xz+yz+xy)-\lambda(xyz-1)\) habe dann da den Gradienten berechnet und ein Gleichungssystem bekommen, nach dem Lösen bin ich auf das Resultat \((x,y,z,\lambda)=(1,1,1,4)\) gekommen. Nun wollte ich zeigen dass dieser Punkt wirklich ein Minimum ist. Ich einer Lektüre haben sie dazu eigentlich immer die Hessematrix verwendet und dann gezeigt ob diese positiv definit ist. Also habe ich das versucht und bin auf
\(Hes(L)(x,y,z,\lambda)=  \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 2-\lambda z & 2-\lambda y \\ 2-\lambda z & 0 & 2-\lambda x \\ 2-\lambda y & 2-\lambda x & 0 \end{array}\right)\)
gekommen. Also genauer gesagt 

\(Hes(L)(1,1,1,4)=  \left( \begin{array}{rrrr} 0 & -2 & -2 \\ -2 & 0 & -2 \\ -2 & -2 & 0 \end{array}\right)\).

Wenn ich nun diese Matrix mit hilfe der Eigenwerte auf Definitheit überprüfe, so komme ich da nicht auf das gewünste. Mein TA hat mir gesagt, dass das mit der Hessematrix nicht geht in diesen Aufgaben, doch dann sehe ich es nicht ganz ein wieso man es in fast allen aufgaben Auf dem Internet so lösen kann. Habe ich denn sonst etwas ganz falsch gemacht?

Vielen Dank für eure Hilfe.

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Hallo,

ich meine beim Lagrange Verfahren, muss man die geänderte Hesse Matrix betrachten. Ist bei mir leider schon etwas her und bin gerade auch nicht mehr so aufnahmefähig es mir nochmal durchzulesen, aber schau mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Ger%C3%A4nderte_Hesse-Matrix

Dort wird eher die Determinante betrachtet. Ich meine, wenn diese Aussage zu nichts führt, muss man das Problem geometrisch betrachten. Ob es noch eine Möglichkeit gab, weiß ich gerade nicht mehr.

Grüße Christian
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 21:54

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2 Antworten
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Dein TA hat recht, das geht so nicht. Du suchst ja auch kein Extremum der Funktion L, denn \(\lambda\) ist ja kein zu optimierender Parameter.
Mir sind keine Beispiele bekannt, in denen mit der Hesse-Matrix in der Form gearbeitet wird, wie Du das vorhast.
Wenn man mit der Hesse-Matrix arbeiten will, dann muss man das Problem umschreiben auf ein Extremwertproblem ohne NB, wie man es mit Aufgaben aus der Schulmathematik machen kann. Dazu löst man die NB nach einer der Größen auf, setzt das in f ein und erhält hier im Beispiel ein 2D-Extremwertproblem, das herkömmlich (insb. auch mit Hesse-Matrix) gelöst werden kann. Das ist aber oft schwierig, weil die NB nicht ohne weiteres auflösbar ist bzw. lästige Fallunterscheidungen nötig sind.
Oft nimmt man lieber, wie Christian schon sagte, geometrische Überlegungen zuhilfe.
Diese Überlegungen sollte man auch besser vorher schon machen, denn es ist ja gar nicht gesagt, dass die gefundene Lösung überhaupt ein Extremum unter der NB ist (siehe meine Antwort auf Deine frühere Frage). Es könnte theoretisch auch gar keins sein. Die L-Bedingung ist nur notwendig, nicht hinreichend.
Und noch ein Hinweis: \(\lambda\) muss nicht ausgerechnet werden. Der gefundene Wert von \(\lambda\) spielt keine Rolle (Hauptsache, es gibt ihn).
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Also ich hänge oben nochmals ein Bild eines Buches an, von dem ich das mit der Hessematrix habe, denn ich bin ein wenig verwirrt. Vielleicht kannst du mir sagen was ich hier falsch verstanden habe. Denn so wie ich hier Schritt 3 verstehe ist ja der Punkt \((1,1,1)\) ein kritischer Punkt von L (macht ja auch Sinn, da die partiellen Ableitungen erster Ordnung von L gleich Null sind). Und dann ich ich das so verstanden dass ich das ganze in die Hessematrix einsetzen muss, aber kann durchaus sein, dass ich das falsch interpretiert habe.
Leider kann ich mir das schlecht geometrisch vorstellen, da ich keine Ahnung habe wie diese Funktion aussieht.
  ─   karate 19.04.2021 um 23:36

Du bist nach der Methode in dem Buch vorgegangen, aber ich bezweifle, dass das so geht. Ist das dasselbe Buch, in dem wir schonmal einen Fehler entdeckt haben?
Hast Du einen link zu einer Aufgabe im Internet, in der genau nach dieser Methode wie im Buch vorgegangen wird?

  ─   mikn 20.04.2021 um 12:36

Ja bin ich, und ja es ist das selbe Buch aber unser Prof hat heute auch nochmals die gleiche Methode erwähnt und auf die Frage eines Komilitonen, ob man die Art des Extremum mit der Hessematrix bestimmen kann, hat unser Prof mit ja geantwortet.
Hier hätte ich so auf die schnelle einen Link der es genau so macht.
https://www.massmatics.de/merkzettel/#!219:Lagrange_-_Art_des_Extremums_2
  ─   karate 20.04.2021 um 13:05

Man findet im Netz zu dieser Methode wenig, die einzigen gerechneten Beispiele, die ich gefunden habe, sind die auf massmatics. Allerdings habe ich eine Quelle gefunden, dass das Kriterium tatsächlich richtig ist.
Genauer: Richtig bei massmatics, aber nicht in dem Buch Deines Profs.
Von daher scheint(!!!!) es so zu sein: Hesse-Matrix pos./neg.def. impliziert Extremum unter der NB.
Hesse-Matrix indefinit impliziert laut massmatics und meiner Quelle: KEINE Aussage möglich, kann Extremum unter der NB sein. Und diesen Fall haben wir ja hier.
In "Deinem" Buch steht da Sattelpunkt, was ja "kein Extremum" bedeutet, das ist anscheinend falsch - wie ja auch Dein Beispiel zeigt. Würde ich mir vom Prof mal vorrechnen lassen.
In meiner Quelle steht auch, dass dieses Kriterium (pos./neg.def.) meist nicht erfüllt ist, so dass es wenig hilft. Was für mich erklärt, warum man davon sowenig hört.
"Meine Quelle:" https://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/a3/1415/vorlesungen/a3_vorl_k7.pdf
  ─   mikn 20.04.2021 um 15:36

Okei ich habe es mir kurz durchgelesen, macht auch Sinn. Nun habe ich aber noch nicht ganz verstanden wie ich sonst vorgehen könnte, denn in der Vorlesung hat er wie gesagt nur über die Hessematrix gesprochen und da dies ja in diesem Fall nicht viel bringt weiss ich noch nicht genau was ich alternativ machen könnte   ─   karate 20.04.2021 um 16:03

Ja, das ist nicht so einfach. Mit der Methode der beränderten Hesse-Matrix bin ich nicht vertraut, vermutlich war die auch bei Euch bisher nicht Thema.
Häufig kann man den Satz anwenden, dass es ein glob. Max. und ein glob. Min. unter der NB gibt, wenn die Nullstellenmenge von g kompakt ist. Ist sie hier aber nicht.
Man sieht aber: \(f(x,\frac1x,1)=1+\frac1x+x \to\infty\) für \(x\to\infty\), also gibt es kein glob. Max. unter der NB. Da dasselbe Verhalten für \(x\to0+\) auftritt, müsste irgendwo "dazwischen" intuitiv ein lok. Min. auftreten. Das ist jetzt aber sehr intuitiv, habe keinen Beweis dazu.
Mehr fällt mir erstmal auch nicht ein.
Wenn man ohne L-Mult. arbeitet, herkömmlich (NB auflösen und in f einsetzen) kann man leicht das 2d-Extremumsproblem lösen (mit normaler Hesse-Matrix) und findet, dass (1,1,1) ein Min. unter der NB ist. Ja, ich weiß, das ist dann nicht mit der L-Methode.
Bei den meisten Ü-Aufgaben ist die Nullstellenmenge kompakt, dann ist die L-Methode hilfreich.
Daher bin ich sehr interessiert zu sehen, wie Euer Prof das lösen will.
  ─   mikn 20.04.2021 um 21:39

Okei super vielen herzlichen Dank, ja eben ich habe eigentlich auch schon fast alles versucht, auch das Kriterium mit der Kompaktheit aber hat nichts gebracht. Ich habe auch gedacht ob man vielleicht zeigen könnte, dass f auf dieser Menge Konvex ist, denn dann wäre ja ein lokales Minimum in dieser Menge gleichzeitig das globale auf dieser Menge aber irgendwie wollte das auch nicht wirklich.
Falls uns der Prof eine zufriedenstellende Antwort gibt werde ich sie dir gerne mitteilen.
  ─   karate 20.04.2021 um 21:44

Ja, gerne. Bin gespannt.   ─   mikn 20.04.2021 um 21:57

Also ich habe den Prof. mal um einen Tipp gebeten, er hat folgendes geantwortet:

Es gibt auch einen allgemeinen 2-Ableitungstest.
Man nimmt F(x)=f - lambda g.
Berechnet den Hessian d^2F.
Man muss prüfen, dass d^2F(v) positiv für v mit dg (v)=0 ist.

Ich habe die Hessematrix berechnet und gemerkt dass dg(v)=0 genau dann wenn v=0 aber auch dann ist die Matrix irgendwie nicht positiv, vielleicht habe ich aber auch in der Eile etwas falsch gerechnet.
  ─   karate 21.04.2021 um 14:09

\(\nabla g(v)\neq 0\) ist Voraussetzung für die L-Methode. Heißt: WENN v ein lok. Extr. unter der NB g=0 ist UND \(\nabla g(v)\neq 0\), dann gibt es lambda usw.
D.h. zu den mit der L-Methode gefundenen Kandidaten kommen noch als weitere Kandidaten die Nullstellen von \(\nabla g\) hinzu. Wenn das, wie hier, aber nur v=0 ist, spielt das keine Rolle (v=0 erfüllt ja nicht die NB).
  ─   mikn 21.04.2021 um 14:39

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Wenn du nur zeigen sollst, welcher Art der kritische Punkt \(1|1|1)\) ist . nimm doch mal einen anderen Punkt, z.B. \((2|0,5|1)\), dann erhälst du \(O=2(1+0,5+2)=7>6\)
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Also ich bin aber der Meinung dass das doch noch nicht genügt, denn es könnte immer noch einen Punkt geben sodass die Oberfläche kleiner wird. Also da müsste ich doch auch wieder die geometrischen Eigenschaften der Funktion gebrauchen und zeigen dass in einer genug grossen Umgebung von \((1,1,1)\) alle Funktionswerte an diesen Stellen grösser sind als \(f(1,1,1)\).   ─   karate 20.04.2021 um 13:52

Da hast Du recht, das sagt gar nichts.   ─   mikn 20.04.2021 um 14:45

okei super danke. @mikn bist du schon schlauer geworden bezüglich der Internetseite/Beispiel
  ─   karate 20.04.2021 um 15:13

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