Mir sind keine Beispiele bekannt, in denen mit der Hesse-Matrix in der Form gearbeitet wird, wie Du das vorhast.
Wenn man mit der Hesse-Matrix arbeiten will, dann muss man das Problem umschreiben auf ein Extremwertproblem ohne NB, wie man es mit Aufgaben aus der Schulmathematik machen kann. Dazu löst man die NB nach einer der Größen auf, setzt das in f ein und erhält hier im Beispiel ein 2D-Extremwertproblem, das herkömmlich (insb. auch mit Hesse-Matrix) gelöst werden kann. Das ist aber oft schwierig, weil die NB nicht ohne weiteres auflösbar ist bzw. lästige Fallunterscheidungen nötig sind.
Oft nimmt man lieber, wie Christian schon sagte, geometrische Überlegungen zuhilfe.
Diese Überlegungen sollte man auch besser vorher schon machen, denn es ist ja gar nicht gesagt, dass die gefundene Lösung überhaupt ein Extremum unter der NB ist (siehe meine Antwort auf Deine frühere Frage). Es könnte theoretisch auch gar keins sein. Die L-Bedingung ist nur notwendig, nicht hinreichend.
Und noch ein Hinweis: \(\lambda\) muss nicht ausgerechnet werden. Der gefundene Wert von \(\lambda\) spielt keine Rolle (Hauptsache, es gibt ihn).
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Leider kann ich mir das schlecht geometrisch vorstellen, da ich keine Ahnung habe wie diese Funktion aussieht. ─ karate 19.04.2021 um 23:36
Hier hätte ich so auf die schnelle einen Link der es genau so macht.
https://www.massmatics.de/merkzettel/#!219:Lagrange_-_Art_des_Extremums_2 ─ karate 20.04.2021 um 13:05
Falls uns der Prof eine zufriedenstellende Antwort gibt werde ich sie dir gerne mitteilen. ─ karate 20.04.2021 um 21:44
Es gibt auch einen allgemeinen 2-Ableitungstest.
Man nimmt F(x)=f - lambda g.
Berechnet den Hessian d^2F.
Man muss prüfen, dass d^2F(v) positiv für v mit dg (v)=0 ist.
Ich habe die Hessematrix berechnet und gemerkt dass dg(v)=0 genau dann wenn v=0 aber auch dann ist die Matrix irgendwie nicht positiv, vielleicht habe ich aber auch in der Eile etwas falsch gerechnet. ─ karate 21.04.2021 um 14:09
ich meine beim Lagrange Verfahren, muss man die geänderte Hesse Matrix betrachten. Ist bei mir leider schon etwas her und bin gerade auch nicht mehr so aufnahmefähig es mir nochmal durchzulesen, aber schau mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Ger%C3%A4nderte_Hesse-Matrix
Dort wird eher die Determinante betrachtet. Ich meine, wenn diese Aussage zu nichts führt, muss man das Problem geometrisch betrachten. Ob es noch eine Möglichkeit gab, weiß ich gerade nicht mehr.
Grüße Christian ─ christian_strack 19.04.2021 um 21:54