Bestimmen einer Tangente der Gebrochenen Funktion

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Hey, ich benötige etwas Hilfe bei folgender Aufgabe:

Bestimme die Gleichung der Tangente der Funktion f(x) = x/(2-x) ; x ungleich 2 welche durch den Punkt S(0|-1) verläuft.

Grundsätzlich würde man beginnen mit der Ableitung für f(x) richtig? Leider komme ich hier nicht ganz weiter.

Vielen Dank im Vorraus!
gefragt

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3 Antworten
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Quotientenregel oder den Nenner umschreiben in $(2-x)^{-1}$ und  Produktregel
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Mit der Quotientenregel komme ich auf
f'(x) = 2/(x²-4x+4)

Wie würde es nun weiter gehen?
  ─   simon.math vor 6 Tagen, 23 Stunden

Da gibt es mehrere Möglichkeiten, am einfachsten wäre es, die sog. Tangentengleichung (Punkt-Steigungsform) t(x)=f'(xB)(x-xB)+f(xB) Berührpunkt(xB/f(xB))
zu verwenden, dabei werden die Terme für f und f' eingesetzt, der gegebene Punkt für x und t(x) (Punktprobe) und alles nach xB aufgelöst
Man kann auch die Steigung der Geraden durch den Punkt und den Berührpunkt gleichsetzen mit der Ableitung am Berührpunkt
  ─   monimust vor 6 Tagen, 23 Stunden

Ich habe jetzt den geg. Punkt in die genannte Formel eingesetzt: -1=f'(0B)(0-0B)+f(0B)
Leider verstehe ich nicht ganz was es mit dem B auf sich hat?

Danke!
  ─   simon.math vor 6 Tagen, 22 Stunden

xB ist der Berührpunkt, steht oben dabei, kannst auch u verwenden, jedenfalls ist das ein unbekannter Wert daher nicht das x durch 0 ersetzen.
Aber du musst noch f und f' als Termformel einsetzen, nimm dabei besser u statt xB
  ─   monimust vor 6 Tagen, 22 Stunden

Wie soll ich f & f' als Formeln einsetzen? -1= f'(u)(0-u)+f(u)
Meinst du so: -1 = 2(0-x)+x
Ist mit u der Zähler der Funktion gemeint?
  ─   simon.math vor 6 Tagen, 22 Stunden

1. Zeile ist richtig, u ist ein unbekannter x-Wert, f(u) der dazugehörige y-Wert, beide bilden den Berührpunkt B(u/f(u)) den du ja nicht kennst. (Mach dir mal ne Skizze)
So lässt sich aber nichts ausrechnen, daher müssen f und f' durch ihre Terme ersetzt werden.
Ich mach dir mal ein einfaches Beispiel
$f(x)=x^2;f'(x)=2x;P(5|2)$
$2=2u(5-u)+u^2$
Hast du diese Aufgabenstellung (Tangente von außerhalb an die Kurve) noch nie gesehen? Beispiel in Schulbüchern ist oft Rampe an Hügel anlegen
  ─   monimust vor 6 Tagen, 21 Stunden

Wenn ich das jetzt richtig eingesetzt haben sollte komme ich auf:
-1=2/(u^2-4u+4)(0-u)+u/(2-u)

Nein mit solchen Aufgaben habe ich bisher leider noch nichts zu tun gehabt.
Wie müsste ich nun weiter verfahren?

Danke!
  ─   simon.math vor 6 Tagen, 11 Stunden

Jetzt musst du nach u auflösen . Der Wert von u wird dann wieder in die Tangentengleichung eingesetzt, diesmal aber an anderer Stelle. Wenn du dann vereinfacht hast du eine Geradengleichung für die Tangente   ─   monimust vor 6 Tagen, 11 Stunden

Ich komme auf -2u^3-4u^2+12u-8=0
und müsste nun mit der Polynomdivision auf u kommen, richtig?
  ─   simon.math vor 6 Tagen, 11 Stunden

Ich glaube da stimmt was nicht, die Gleichung müsste viel einfacher sein (hab's vorhin mit der zweiten Methode gerechnet)
HN ist (2-u)^2, dh. links entsteht -u^2 und rechts im zweiten Summanden auch, fällt also weg, sollte auf eine lineare Gleichung hinauslaufen
  ─   monimust vor 6 Tagen, 10 Stunden

Ich habe jetzt die ganze Zeit versucht eine Lösung zu finden aber komme irgendwie nicht weiter. Ich verstehe leider auch nicht wieso der HN (2-u)² ist? :(   ─   simon.math vor 6 Tagen, 5 Stunden

Ich weiß nicht, wie du die Ableitung gebildet hast, so, dass im Nenner 4x^2 -4x +4 steht, aber eigentlich ist das (2-x)^2 . Wie soll der HN denn sonst lauten.?   ─   monimust vor 5 Tagen, 23 Stunden

Habe gerade mal eine Vermutung überprüft: du hast den HN gebildet aus $(u^2-4u+4)(2-u)$,
Der ist zu groß, funktioniert trotzdem, wenn man sich nicht verrechnet(VZ), $u^3$ fällt raus, die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, die gesuchte und das in der Definitionsmenge ausgeschlossene x=2
  ─   monimust vor 5 Tagen, 11 Stunden

Sry für die späte Rückmeldung. Hab leider erst jetzt gesehen das du noch mal geantwortet hast.

Genau, ich habe den HN mit (u²-4u+4)(2-u) gebildet.

Ich habe nun alles nochmal durch gerechnet und nun fällt das u^3 bei mir auch raus und ich komme nun auf -4u² +12u-8=0
Ich komme so auf x=1.
  ─   simon.math vor 2 Stunden, 1 Minute

Ich meine statt x=1 natürlich u=1.
Nun müsste ich die 1 in t(x) einsetzen.
t(x)= f'(1)(0-1)+f(1)
Ist das soweit erdtmal richtig?
  ─   simon.math vor 1 Stunde, 41 Minuten

Statt der 0 muss da ein x hin, die Werte für f und f' eisetzen, ausmultiplizieren und zusammenfassen   ─   monimust vor 1 Stunde, 25 Minuten

Wenn du das Ergebnis hast, probiere es noch einmal mit der Methode von gerdware zu rechnen (die hatte ich dir als zweite Möglichkeit genannt.) Am besten mit Skizze (irgendeine Kurve) damit schulst du das Verständnis dessen, was du hier gerechnet hast. Die verwendete Tangentengleichung ist eine Umformung davon und ist schneller, aber dafür muss man sich das Vorgehen merken, das andere lässt sich herleiten.   ─   monimust vor 1 Stunde, 15 Minuten

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  • Die Tangente geht durch die Punkte \((0|-1)\) und \((x_0|f(x_0)\)
  • also hat sie einerseits die Steigung \(m=\frac{f(x_0)+1}{x_0}\)
  • aber andererseits hat sie die Steigung \(f'(x_0)=\frac{2}{(x_0-2)^2}\) 
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Die erste Ableitung hast du ja schon. Jetzt bedenken, dass die Tangente eine lineare Funktion ist und deshalb die Form \(t(x)=mx+n\) hat. Der Anstieg \(m\) der Tangente muss jetzt im Punkt \(S(0|-1)\) genau dem Anstieg der Funktion \(f(x)\) entsprechen, d.h. \(m=f'(0)\), da die erste Ableitung ja den Anstieg angibt. Damit fehlt dir nur noch der Parameter \(n\). Den müssen wir nun so wählen, dass die Tangente auch tatsächlich durch den Punkt \(S\) verläuft. Dazu muss noch die Gleichung \(-1=t(0) \) bzw. \(-1=m\cdot 0+n\) nach \(n\) umgestellt werden (x und y-Werte vom Punkt \(S\) in die Tangentengleichung eingesetzt).
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stimmt so nicht. S(0/-1} ist kein Kurvenpunkt. Aufgabenstellung ist Tangente von außerhalb und nicht im Punkt.   ─   monimust vor 6 Tagen, 8 Stunden

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Ah da hast du Recht, danke für den Hinweis!   ─   benesalvatore vor 6 Tagen, 8 Stunden

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