Bestimmen einer Tangente der Gebrochenen Funktion

Aufrufe: 751     Aktiv: 20.09.2021 um 11:58
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Hey, ich benötige etwas Hilfe bei folgender Aufgabe:

Bestimme die Gleichung der Tangente der Funktion f(x) = x/(2-x) ; x ungleich 2 welche durch den Punkt S(0|-1) verläuft.

Grundsätzlich würde man beginnen mit der Ableitung für f(x) richtig? Leider komme ich hier nicht ganz weiter.

Vielen Dank im Vorraus!
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Quotientenregel oder den Nenner umschreiben in $(2-x)^{-1}$ und  Produktregel
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Mit der Quotientenregel komme ich auf
f'(x) = 2/(x²-4x+4)

Wie würde es nun weiter gehen?   ─   simon.math 11.09.2021 um 22:03
Da gibt es mehrere Möglichkeiten, am einfachsten wäre es, die sog. Tangentengleichung (Punkt-Steigungsform) t(x)=f'(xB)(x-xB)+f(xB) Berührpunkt(xB/f(xB))
zu verwenden, dabei werden die Terme für f und f' eingesetzt, der gegebene Punkt für x und t(x) (Punktprobe) und alles nach xB aufgelöst
Man kann auch die Steigung der Geraden durch den Punkt und den Berührpunkt gleichsetzen mit der Ableitung am Berührpunkt
   ─   monimust 11.09.2021 um 22:19
Ich habe jetzt den geg. Punkt in die genannte Formel eingesetzt: -1=f'(0B)(0-0B)+f(0B)
Leider verstehe ich nicht ganz was es mit dem B auf sich hat?

Danke!   ─   simon.math 11.09.2021 um 22:48
xB ist der Berührpunkt, steht oben dabei, kannst auch u verwenden, jedenfalls ist das ein unbekannter Wert daher nicht das x durch 0 ersetzen.
Aber du musst noch f und f' als Termformel einsetzen, nimm dabei besser u statt xB   ─   monimust 11.09.2021 um 22:53
Wie soll ich f & f' als Formeln einsetzen? -1= f'(u)(0-u)+f(u)
Meinst du so: -1 = 2(0-x)+x
Ist mit u der Zähler der Funktion gemeint?   ─   simon.math 11.09.2021 um 23:12
1. Zeile ist richtig, u ist ein unbekannter x-Wert, f(u) der dazugehörige y-Wert, beide bilden den Berührpunkt B(u/f(u)) den du ja nicht kennst. (Mach dir mal ne Skizze)
So lässt sich aber nichts ausrechnen, daher müssen f und f' durch ihre Terme ersetzt werden.
Ich mach dir mal ein einfaches Beispiel
$f(x)=x^2;f'(x)=2x;P(5|2)$
$2=2u(5-u)+u^2$
Hast du diese Aufgabenstellung (Tangente von außerhalb an die Kurve) noch nie gesehen? Beispiel in Schulbüchern ist oft Rampe an Hügel anlegen
   ─   monimust 11.09.2021 um 23:28
Wenn ich das jetzt richtig eingesetzt haben sollte komme ich auf:
-1=2/(u^2-4u+4)(0-u)+u/(2-u)

Nein mit solchen Aufgaben habe ich bisher leider noch nichts zu tun gehabt.
Wie müsste ich nun weiter verfahren?

Danke!   ─   simon.math 12.09.2021 um 09:33
Jetzt musst du nach u auflösen . Der Wert von u wird dann wieder in die Tangentengleichung eingesetzt, diesmal aber an anderer Stelle. Wenn du dann vereinfacht hast du eine Geradengleichung für die Tangente   ─   monimust 12.09.2021 um 09:41
Ich komme auf -2u^3-4u^2+12u-8=0
und müsste nun mit der Polynomdivision auf u kommen, richtig?   ─   simon.math 12.09.2021 um 10:12
Ich glaube da stimmt was nicht, die Gleichung müsste viel einfacher sein (hab's vorhin mit der zweiten Methode gerechnet)
HN ist (2-u)^2, dh. links entsteht -u^2 und rechts im zweiten Summanden auch, fällt also weg, sollte auf eine lineare Gleichung hinauslaufen   ─   monimust 12.09.2021 um 10:51
Ich habe jetzt die ganze Zeit versucht eine Lösung zu finden aber komme irgendwie nicht weiter. Ich verstehe leider auch nicht wieso der HN (2-u)² ist? :(   ─   simon.math 12.09.2021 um 15:38
Ich weiß nicht, wie du die Ableitung gebildet hast, so, dass im Nenner 4x^2 -4x +4 steht, aber eigentlich ist das (2-x)^2 . Wie soll der HN denn sonst lauten.?   ─   monimust 12.09.2021 um 22:17
Habe gerade mal eine Vermutung überprüft: du hast den HN gebildet aus $(u^2-4u+4)(2-u)$,
Der ist zu groß, funktioniert trotzdem, wenn man sich nicht verrechnet(VZ), $u^3$ fällt raus, die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, die gesuchte und das in der Definitionsmenge ausgeschlossene x=2   ─   monimust 13.09.2021 um 10:10
Sry für die späte Rückmeldung. Hab leider erst jetzt gesehen das du noch mal geantwortet hast.

Genau, ich habe den HN mit (u²-4u+4)(2-u) gebildet.

Ich habe nun alles nochmal durch gerechnet und nun fällt das u^3 bei mir auch raus und ich komme nun auf -4u² +12u-8=0
Ich komme so auf x=1.   ─   simon.math 18.09.2021 um 19:17
Ich meine statt x=1 natürlich u=1.
Nun müsste ich die 1 in t(x) einsetzen.
t(x)= f'(1)(0-1)+f(1)
Ist das soweit erdtmal richtig?   ─   simon.math 18.09.2021 um 19:38
Statt der 0 muss da ein x hin, die Werte für f und f' eisetzen, ausmultiplizieren und zusammenfassen   ─   monimust 18.09.2021 um 19:54
Wenn du das Ergebnis hast, probiere es noch einmal mit der Methode von gerdware zu rechnen (die hatte ich dir als zweite Möglichkeit genannt.) Am besten mit Skizze (irgendeine Kurve) damit schulst du das Verständnis dessen, was du hier gerechnet hast. Die verwendete Tangentengleichung ist eine Umformung davon und ist schneller, aber dafür muss man sich das Vorgehen merken, das andere lässt sich herleiten.   ─   monimust 18.09.2021 um 20:03
Ok ich habe jetzt die u=1 in t(x) eingesetzt.
-1= 2/((1)² -4(1)+4) (x-1) + 1/(2-1)
Nach x aufgelöst komme ich auf x=0.
   ─   simon.math 19.09.2021 um 12:43
Nö, nix einsetzen außer u, f(u) und f'(u)
x und t(x) brauchst du doch, damit eine Geradengleichung herauskommt, das wurde nur am Anfang für die Punktprobe "missbraucht"
   ─   monimust 19.09.2021 um 13:02
Ok. Also setze ich die 1 nur in die t(x) Formel ein. t(x)= f'(1)(x-1)+f(1).
Aber wie soll ich das jetzt ausmultiplizieren und zusammenfassen?   ─   simon.math 19.09.2021 um 15:21
Also f‘(u) war ja 2/(u² -4u+4) und f(u) ist u/(2-u). Und in diese Gleichungen setze ich jeweils die 1 ein?
Das wäre dann also 2/(1²-4(1)+4 -> f‘(u)=2
f(u) = 1/(2-1) -> f(u)= 1
Also würde die Gleichung t(x) wie folgt aussehen: t(x)= 2(x-1)+1 -> t(x)= 2x-1
Und das wäre dann die Tangentengleichung, richtig?   ─   simon.math 19.09.2021 um 16:27
Korrekt   ─   monimust 19.09.2021 um 20:10
Alles klar. Vielen Dank!   ─   simon.math 20.09.2021 um 11:58

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Die erste Ableitung hast du ja schon. Jetzt bedenken, dass die Tangente eine lineare Funktion ist und deshalb die Form \(t(x)=mx+n\) hat. Der Anstieg \(m\) der Tangente muss jetzt im Punkt \(S(0|-1)\) genau dem Anstieg der Funktion \(f(x)\) entsprechen, d.h. \(m=f'(0)\), da die erste Ableitung ja den Anstieg angibt. Damit fehlt dir nur noch der Parameter \(n\). Den müssen wir nun so wählen, dass die Tangente auch tatsächlich durch den Punkt \(S\) verläuft. Dazu muss noch die Gleichung \(-1=t(0) \) bzw. \(-1=m\cdot 0+n\) nach \(n\) umgestellt werden (x und y-Werte vom Punkt \(S\) in die Tangentengleichung eingesetzt).
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stimmt so nicht. S(0/-1} ist kein Kurvenpunkt. Aufgabenstellung ist Tangente von außerhalb und nicht im Punkt.   ─   monimust 12.09.2021 um 12:39
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Ah da hast du Recht, danke für den Hinweis!   ─   benesalva 12.09.2021 um 13:00

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