Sehr guter Anfang. Füge Deine Überlegungen immer direkt dabei, damit wir sehen, wo wir Dich abholen müssen.
Gut, dass Du schon gesehen hast, dass zwei Sachen zu zeigen sind.
Bei solchen relativ einfachen Aussagen sieht es schnell so aus, als hat man nur die Behauptung abgeschrieben und die als Begründung verkauft. Das wird dann etwas verschwommen. Außerdem ist es verwirrend, wenn man zwei Verneinungen (...kein... kein...) in einem Satz hat.
Versuch es mal klarer zu machen. Wir wissen $M\subset N$. Wir wollen $M\cup N=N$ zeigen. $N\subset M\cup N$ ist schonmal klar, weil die Menge ja größer wird. Interessant ist also nur $M\cup N\subset N$ zu zeigen. Du könntest hier als Begründung benutzen, dass $A\subset C, B\subset C \implies A\cup B\subset C$.
Versuche den zweiten Teil dann auch nochmal.