Projektive Inzidenzebene

Aufrufe: 239     Aktiv: 01.10.2023 um 22:48

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Aufgabe: (P,G) ist eine projektive Inzidenzebene mit |P|>= 27 (größergleich) 
frage: wie viele Punkte enthält P mindestens?

da |P|=n^2+n+1 habe ich das einfach mit 27 gleichgesetzt und per Mitternachtsformel ausgerechnet. Das negative Ergebnis habe ich vernachlässigt. Und da n eine natürliche Zahl sein muss das Ergebnis auf 5 gerundet. 

ich hoffe mir kann jemand sagen, ob das so stimmt. 



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Ja stimmen tut es, aber der Weg dorthin ist nicht ganz sauber. Die Mitternachsformel/p-q Formel löst ein kontinuierliches Problem, aber hier handelt es sich ja um ein diskretes. Da muss man oft aufpassen, da du oft nicht weißt, wie die Lösung von kontinuerilichen und diskreten Problemen zusammenhängen. Vereinfacht gesagt: Du hast keine rigorose Rechtfertigung, warum aufrunden hier eine Lösung des diskreten Problems gibt. 

In jedem Fall suchst du folgenden Ausdruck

$$ \inf \{ n \in \mathbb{N} \mid |P| \geq 27\}.$$

Dann stellen wir einfach um 

$$ n^2+n+1  \geq 27 \iff  \\ n^2+n \geq 26 \iff  \\ \sum_{k=1}^n k \geq 13,$$

wobei ich hier die Gaußsche Summenformel $\sum_{k=1}^n k=\frac{n^2+n}{2}$ verwendet habe. Hier habe ich genutzt, dass $n \geq 1$ ist. Jetzt kannst du einfach ausprobieren, welches $n$ das eindeutige gesuchte $n$ ist.

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Die richtige Antwort lautet "31", nicht "5".

Denn: Wenn ich das richtig verstanden habe, gilt für jede endliche projektive Ebene \((P,G)\), dass \(|P|=|G|=n^2+n+1\),
wobei n eine natürliche Zahl ist und als Ordnung bezeichnet wird.
Du hast herausbekommen, dass n mindestens 5 ist.
Dann aber ist |P| mindestens \(n^2+n+1 = 5^2+5+1 = 31\).

Eine saubere Begründung des Mindest-Wert von n geht m.E. am einfachsten so:
Die Funktion \(f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, \; f(n)=n^2+n+1\) ist monoton wachsend, denn jeder ihrer Summanden ist monoton wachsend.
Es ist \(f(5)=31\ge 27\). Hieraus und aus der Monotonie folgt, dass \(f(n)\ge 27\) für alle \(n\ge 5\).
Es ist \(f(4)=21< 27\). Hieraus und aus der Monotonie folgt, dass \(f(n)< 27\) für alle \(n\le 4\).
Es ist \(|P|\ge 27\) also genau dann, wenn \(n\ge 5\).

Und dann muss man sich noch darüber Gedanken machen, ob 5 als Ordnung zulässig ist, etwa so:
5 ist eine Primzahl, also eine Primzahlpotenz.
Für jede Ordnung, die eine Primzahlpotenz ist, lässt sich eine endliche projektive Ebene mit dieser Ordnung konstruieren (siehe z.B. hier).
Also gibt es eine projektive Ebene der Ordnung 5.
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Falls der Fragy das liest: Akzeptiere diese Antwort, sie hat Recht. Ich habe mich nur auf das Problem $27 \geq n^2+n+1$ konzentriert, da das die zentrale Frage des Fragestellers war.
Diese Antwort ist vollständiger als meine und gibt den Kontext korrekt an, was bei mir fehlt.
  ─   crystalmath 01.10.2023 um 22:48

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