Mengenringe und Mengenalgebra

Aufrufe: 693     Aktiv: 30.09.2021 um 19:54
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Hallo Zusammen,
eine Frage bezüglich den Mengenringen und Mengenalgebren.

Unsere Definition für Mengenringe :
Ω-eine Menge
Eine Klasse R von Teilmengen von Ω heisst Mengenring, falls:
(1) ∅∈R
(2) Für alle A,B∈R: A\B∈R
(3) Für alle A,B∈R: AUB∈R

Wenn ich jetzt eine Menge Ω = {a,b,c} habe , kann ich ja als Mengenringe die Potenzmengen der Teilmengen angeben, aber gibt es noch weitere und wenn ja, wie erkenne ich die (sind es immer so die gleichen Verdächtigen ? Wie jetzt z.B Potenzmengen?)

Für Mengenalgebren:
Ω-eine Menge
a ist eine Mengenalgebra, falls:
(1) ∅∈ a
(2) Für alle A∈a: Ac ( = Ω\A)∈a
(3) Für alle A,B∈a : AUB∈a

Angenommen es sei wieder
Ω = {a,b,c},
Dann wäre doch die einzige Mengenalgebra die ganze Menge
Ω oder ? Oder wo mache ich hier den Denkfehler ?

Liebe Grüsse
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Ich habe dir hier mal eben alle Ringe und alle Algebren ausgerechnet mit \(\Omega = \{a,b,c\}  \). Jede Zeile steht für einen Ring/eine Algebra.

Ringe:
{\( \varnothing \)}
{\( \varnothing \),{abc}}
{\( \varnothing \),{ab}}
{\( \varnothing \),{ac}}
{\( \varnothing \),{a}}
{\( \varnothing \),{bc}}
{\( \varnothing \),{bc},{a},{abc}}
{\( \varnothing \),{b}}
{\( \varnothing \),{b},{ac},{abc}}
{\( \varnothing \),{b},{a},{ab}}
{\( \varnothing \),{c}}
{\( \varnothing \),{c},{ab},{abc}}
{\( \varnothing \),{c},{a},{ac}}
{\( \varnothing \),{c},{b},{bc}}
{\( \varnothing \),{c},{b},{bc},{a},{ac},{ab},{abc}}

Algebren:
{\( \varnothing \),{abc}}
{\( \varnothing \),{bc},{a},{abc}}
{\( \varnothing \),{b},{ac},{abc}}
{\( \varnothing \),{c},{ab},{abc}}
{\( \varnothing \),{c},{b},{bc},{a},{ac},{ab},{abc}}

Beachte, dass die Algebren eine Teilmenge der Ringe ist, für die gilt \(\Omega \in R \)
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aaaah , jetzt sehe ich um was es geht !!! Vielen Dank. Ich war wirklich verwirrt. Wir haben nur die Definition erhalten , aber ich habe nicht gewusst, dass ich das alles so kombinieren darf. So wie du es jetzt gezeigt hast macht alles Sinn. Ich kann die Sets einfach selbst zusammenstellen, so dass trotzdem jede Bedinnung erfüllt ist.   ─   bünzli 30.09.2021 um 16:33
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So habe ich das übrigens auch berechnet. Ich habe einfach ein Haskell-Programm geschrieben, dass alle Teilmengen von \(\mathcal P(\Omega)\) erstellt und dann die Axiome prüft. Ist eines nicht erfüllt fliegt aus aus der Liste. Wenn du das Programm haben willst, sag bescheid.

PS: Ich freue mich immer über Upvotes und "Antwort akzeptiert"-flags.   ─   cunni 30.09.2021 um 16:47
Ich würde mich sehr über das Programm freuen! Vielen Dank für die Hilfe und sorry ich habe den Upvote ganz vergessen vor lauter Freude! Habe es gerade nachgeholt   ─   bünzli 30.09.2021 um 17:22
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Schön, dass der Quellcode tatsächlich nochmal betrachtet wird ^^. Dann fühlt sich das nicht so zeitverschwenderisch an.

https://github.com/guslav/mastheorie   ─   cunni 30.09.2021 um 18:51
haha :) Herzlichen Dank! LG   ─   bünzli 30.09.2021 um 19:54

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In deinem Beispiel wäre noch die Menge, die nur die leere Menge enthält eine andere Möglichkeit.
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Student, Punkte: 10.87K

 
Also bei der Mengenalgebra meinst du ?
  ─   bünzli 28.09.2021 um 14:08
Ne, beim Mengenring, da das komplett der leeren Menge ja \(\Omega\) ist. Bei der Mengenalgebra nur die Potenzmenge!   ─   mathejean 28.09.2021 um 14:18
Okey, danke. Aber bei der Mengenalgebra wäre dann nur P(Ω) eine Lösung oder? Weil wenn ich P(a) nehme, ist Ω\a nicht in in P(a) enthalten oder denke ich falsch ?   ─   bünzli 30.09.2021 um 10:34
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Du scheinst dich hier verwirrt zu haben über welche Ebene du schreibst. Unter anderem vielleicht, weil du "\(a\)" sowohl für die Algebra, als auch als Element in \(\Omega\) verwendest.
\(a\) soll die Abgebra sein. \(\mathcal{P}(a) \) ist entsprechend kein Kanditat für eine Algebra. Dieses System ist quasi "eine Ebene zu hoch".

\(\Omega \backslash a \) ergibt genauso wenig einen Sinn. \(a\) ist ein Mengensystem über \(\Omega\) und keine Teilmenge. Dementsprechend ist \(\Omega \backslash a = \Omega\).   ─   cunni 30.09.2021 um 13:49

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