Folgen

Erste Frage Aufrufe: 498     Aktiv: 05.05.2020 um 12:51

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Es soll gezeigt werden, dass die Folge a_n = (-1)^n / n^2 gegen 0 konvergiert.
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Hey Niko,

du hast hier eine alternierende Folge vorliegen, bei der der Nenner für \( n \rightarrow \infty \) immer größer wird. Demzufolge wird der Bruch immer kleiner und konvergiert gegen 0, auch wenn er immer zwischen positiv und negativ hin und her springt.

Für einen formellen Beweis könntest du vielleicht direkt die Definition des Grenzwertes einer Folge über die \( \epsilon \)-Umgebung nutzen. Die besagt, dass \( a \) ein Grenzwert der Folge \( a_n \) ist, wenn für ein \( \epsilon > 0 \) ein  \( N \) existiert, so dass für alle \( n > N \) gilt

\( \mid a_n - a \mid \leq \epsilon \)

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super danke :)   ─   niko 05.05.2020 um 11:53

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Etwas genauer: Eine Folge a_n a_nist eine Nullfolge, wenn für alle  \epsilon >0 ein N existiert, so dass |a_n|< \epsilon, sobald n>N.

In unserem Falle muß also 1/n^2 < \epsilon sein, was für alle N>\sqrt(\epsilon) erfüllt ist.

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