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Oder könnte man auch andere Lösungen verlieren. Und ja ich weiß auch wieso die Lösung 0 verloren geht.
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Schüler, Punkte: 43

 
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Sei $g(x)=h(x)$ irgendeine Gleichung reeller Zahlen in der Variablen $x$.
Ich setze im Gegensatz zu anderen Antworten NICHT voraus, dass es sich um eine "polynomiale" Gleichung handelt.

Man kann zur Lösung von $g(x)=h(x)$ die Fälle $x=0$ und $x\neq 0$ separat betrachten.
Im Falle $x=0$ kann man direkt prüfen, ob $g(0)=h(0)$ gilt.
Im Falle $x\neq 0$ kann man unter dieser Annahme die Gleichung $\frac{g(x)}{x}=\frac{h(x)}{x}$ lösen.

Wenn $x_0\neq 0$ eine eine Lösung der ursprünglichen Gleichung $g(x)=h(x)$ ist, also $g(x_0)=h(x_0)$ gilt, folgt natürlich auch $\frac{g(x_0)}{x_0}=\frac{h(x_0)}{x_0}$, also ist $x_0$ auch eine Lösung von .$\frac{g(x)}{x}=\frac{h(x)}{x}$.

Es kann also unter der Annahme $x\neq 0$ bei der Division durch $x$ keine Lösung verloren gehen.
Und ohne die Annahme $x\neq 0$ darf man nicht durch $x$ teilen, weil Division durch $0$ nicht definiert ist.
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+1, sehr schöne antwort.   ─   zest 05.01.2022 um 08:20

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Du verlierst nur die Lösung, die Null ergibt,
Bsp wenn du durch x teilst, ist es x=0,  wenn du durch (x-1) teilst, verlierst du x=1
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selbstständig, Punkte: 10.96K

 

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Ist ja hier wie in der Schule :-)

Wie wäre es mit dieser Ergänzung zu den beiden bisherigen Antworten:

Letztlich fehlt in der gestellten Frage die Information, was eigentlich durch die Variable geteilt wird und wie.

Wenn ich die mit Null gleichgesetzte Funktionsgleichung dividiere, dann handelt es sich ja gar nicht um eine Äquivalenzumformung. Es ist beim Vorgang "Lösen einer Gleichung" ein ungültiger Lösungsschritt, wenn keine Fallunterscheidung erfolgt. Um was für eine Art der Division soll es sich denn dann also handeln, wenn sie mathematisch gar nicht sinnvoll ist?

monimust hat auf die mathematisch nicht ausgegorene Frage eine passende(!) Antwort gegeben.
cauchy hat versucht, die Frage zu mathematisieren. Das war aber eigentlich nicht gefragt.

Die eigentlich einzige sinnvolle Deutung der Frage nach einer Begründung WARUM (!) nur diese eine Lösung verloren geht, haben beide nicht geliefert.

Auf jeden Fall aber ein guter Vorwand, sich in die Wolle zu kriegen. ;-)

Also: Bei jeder Funktion mit Nullstellen kann der Funktionsterm so umgeschrieben werden, dass für jede Nullstelle ein Linearfaktor multipliziert wird, also z.B.
$$
f(x)=2\cdot (x-2)\cdot (x-5)\cdot x\cdot (x+3)\cdot x\cdot g(x).
$$
Jede Klammer ist ein Linearfaktor. Der Linearfaktor $(x-0)$ für eine Nullstelle bei $x=0$ wird dabei meist als $x$ aufgeschrieben, der Faktor $g(x)$ hat keine weiteren Nullstellen (z.B. $g(x)=(x^2+5)\cdot (x^2+1)$, alles natürlich nur für Funktionen mit Definitionsbereich in den reellen Zahlen).


Nun wird $f(x)=0$ gesetzt, also nach Nullstellen gesucht. Jeder Linearfaktor liefert eine Nullstelle (Satz vom Nullprodukt).

Möchte ich eine bestimmte Nullstelle aus der Funktion entfernen, dann muss der entsprechende Linearfaktor "weggelassen" werden.
Alle Nullstellen der Linearfaktoren, die noch da sind, gehen deshalb hierbei nicht verloren.
Wenn ich also bei dem gegebenen Beispiel nur einen der beiden Faktoren "$x$" weglasse ("dividiere"), dann ist die Nullstelle $x=0$ sogar noch da, weil auch das zweite $x$ weggelassen werden muss... deshalb wird auch zwischen einfacher, doppelter, dreifacher etc. Nullstelle unterschieden, d.h. die Vielfachheit der Nullstelle wird mitgezählt. So wird die zweifache Nullstelle bei x=0 zu einer einfachen Nullstelle (sie geht einmal verloren, war aber vorher zweimal vorhanden).

Deshalb kann nur die eine Nullstelle "verschwindet", deren Linearfaktor weggelassen ("dividiert") wird.

(Edit: und jetzt duck ich mich weg....)
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Also das heißt es könnte sogar gar keine Nullstelle verschwinden oder sogar die die Nullstelle bei 0 und Zahlen wie 2, -3, wenn man durch x teilt?   ─   pk05 30.12.2021 um 12:41

nichts gegen diese Antwort :) aber mir scheint, hier werden häufig die ausführlichsten akzeptiert, unabhängig davon ob verstanden oder nicht (vielleicht verstehe ich auch nur den Kommentar nicht ;)   ─   patricks 30.12.2021 um 12:56

Was ist unverständlich? Die Zahlen waren nur Beispiele   ─   pk05 30.12.2021 um 14:51

gemeint ist, wie ein Nullstelle (z.B. x=2) verschwinden soll, wenn man durch x "teilt "(so habe ich den Kommentar verstanden) und die Vielfachheit der Nullstelle x=0 wird in jedem Fall reduziert, auch dann wenn sie nicht "verschwindet"   ─   patricks 30.12.2021 um 15:13

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Inwiefern eine Antwort, die vermutlich deutlich über das Niveau des Fragestellers hinausgeht, hilfreich ist, sei jetzt mal dahingestellt...   ─   cauchy 30.12.2021 um 15:19

Hauptsache das Häkchen sitzt ;)   ─   patricks 30.12.2021 um 15:23

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@pk05 Wenn du einen Faktor $x$ in einer Gleichung der Form $x\cdot f(x)=0$ weglässt, also stattdessen die Gleichung $f(x)=0$ betrachtest, kann sie entweder die gleichen Lösungen wie die ursprüngliche Gleichung haben oder alle Lösungen der Ursprungsgleichung außer der $0$. Außer möglicherweise der $0$ gehen also keine Lösungen verloren.   ─   tobit 30.12.2021 um 15:50

@patricks und die anderen:
- wir können über das Vorwissen des Fragenden immer nur spekulieren, es sei denn wir halten deren Profil nach und/oder merken uns alle Fragen und Kommentare, die vorher schon da waren.... unmöglich. Also muss man ein bisschen "rumraten".
- Manchmal (wie hier) ist nicht einmal klar, was der/die Fragestellende eigentlich wirklich wissen will (manchmal weiß man es vermutlich selber nicht, wenn nicht klar ist, was man eigentlich nicht verstanden hat - Symptom und Ursache...
- Kurze Antworten können ausreichen, müssen aber nicht. Ausführliche Antworten holen meistens etwas weiter aus, betrachten evtl. mehrere Sichtweisen und versuchen Verknüpfungen zu schaffen. Außerdem dauern sie deutlich länger zu formulieren.
Das alles qualifiziert natürlich nicht zum "automatischen Häkchen". Ich denke aber, dass die Chancen höher sind, dass etwas hilfreiches dabei ist oder dass das eigentliche Problem gefunden und angegangen werden kann.

(und es gibt nichts blöderes, als wenn man 20 Minuten an einer ausführlichen Antwort arbeitet und in der Zwischenzeit wurde ein Zweizeiler akzeptiert, und der Fragesteller gibt zu der ganzen Mühe nicht mal einen Kommentar ab...)

Letztlich ist es doch schön zu sehen, wie die Antworten nach und nach besser werden. Ich habe jedenfalls auch nochmal eine neue Sichtweise auf das Problem gewonnen. Und das ist auch ein Grund, warum ich mich hier überhaupt rumtreibe.
Die Antwort mit dem grünen Haken (zumindest wo ich den grünen Haken aktuell angezeigt bekomme...) finde ich zum Beispiel gut, weiß aber nicht, ob das für den Fragenden eigentlich zu formal ist... aber das muss man bei der Antwort einfach ausprobieren.
  ─   joergwausw 30.12.2021 um 19:09

Genau aus diesem Grund, formuliere ich nur selten lange Antworten, weil vom Frager eh keine Rückmeldung kommt. Das ist verschwendete Zeit. Außerdem sagst du ja ganz richtig, dass das Vorwissen und eben das Problem häufig gar nicht so eindeutig identifiziert werden können, weshalb man dann eben auch auf die Nachfragen der Frager hofft. Ich denke aber auch, dass man hier die entsprechende Mitarbeit der Frager auch erwarten kann und sollte. Immerhin wollen sie ja etwas von uns. Es gibt ja auch einige, die das wirklich toll machen, das muss man an dieser Stelle natürlich auch mal loben. :)

Deinem letzten Punkt kann ich allerdings zustimmen. Ich finde es aber - es wurde glaub ich schon angesprochen - immer etwas schwierig, weil ich denke, dass eigentlich nicht alles vom Frager verstanden wurde. Und in diesem Fall wurde die Antwort vermutlich mit dem Haken markiert, weil es die letzte Antwort war. Man muss da irgendwie ein gutes Mittelmaß finden. Gerade bei solchen Verständnisfragen kann man natürlich seeeehr ins Detail gehen.
  ─   cauchy 30.12.2021 um 19:19

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@joergwausw
es gibt hier Leute, die nachfragen bis zum Gehtnichtmehr, manche, weil sie mit den bisherigen Antworten tatsächlich noch nichts anfangen können und man anders erklären oder tiefer einsteigen muss. Andere, weil sie die später akzeptierte AHA-Antwort inzwischen zum 10. Mal "überlesen" haben.
Es gibt aber auch die, die nichts verstehen und sich die Antwort suchen, die nach "mehr Profession" klingen. das habe ich hier so gesehen und sowohl der Kommentar als auch der Häkchenwechsel macht das für mich noch deutlicher. Das ist schade, egal ob derjenige nicht merkt, dass er noch gar nicht so weit ist oder es nicht zugibt, dass er nur Bahnhof versteht und denkt, das muss so sein.
Daher bin ich eher dafür, Antworten zusammen mit dem Frager zu entwickeln und keine umfassende Vorlesung zu halten. Das lässt sich doch nachschieben, falls sich Bedarf abzeichnet , es sei denn bei denjenigen, die Antwortfragmente einfach abhaken, (das sind die von dir erwähnten ), wo man sich auch sagt: das war doch noch gar nicht die ganze/richtige Antwort, merkst du das nicht? und mit "selbst schuld" sich anderem zuwendet.
Aber du hast Recht, hier geht es auch oft darum, dass man sich austauscht oder andere Lösungsansätze kennenlernt. Wenn das im Anschluss an eine befriedigend geklärte Frage stattfinden würde, wäre es noch besser. Wie gesagt hier sehe ich ein akzeptiert erst bei dir und jetzt bei der anderen Antwort) ohne dass die Antwort verstanden wurden (das ist auch das, was cauchy meinte). (Das mit dem Hauptsache Häkchen dagegen war nicht so gemeint, kam mir nur gerade)
  ─   patricks 30.12.2021 um 19:38

Interessanterweise sei noch zu erwähnen, dass die häufigsten Diskussionen tatsächlich zwischen den Helfern stattfinden als zwischen Frager und Helfer. Das finde ich ja irgendwie bemerkenswert. :D   ─   cauchy 30.12.2021 um 19:44

die sind auch vom Unterhaltungswert höher angesiedelt
  ─   patricks 30.12.2021 um 19:49

Ich bin ja schon lange für ein "Geheim-Forum" für Helfer....

@patricks: Den Smilie hatte ich durchaus gesehen - habe das auch nur als Aufhänger genommen.

Ich habe in den letzten Tagen eher wenig gemacht, weil immer schon alles beantwortet war. Dann hatte ich 4 ausführliche Antworten für vier verschiedene Fragende geschrieben ohne jegliche Rückmeldung der Fragenden, nur Cauchy kam mit einem "zu ausführlich"-Kommentar, weil ich vielleicht mal wieder etwas zu weit ausgeholt hatte - wenn das die einzige Rückmeldung bleibt, dann verliert man einfach die Lust...
Dann doch lieber was posten, auf das die anderen Helfer anspringen.... ähem.

Dann sitze ich hier gerade mit 9 Stunden Zeitunterschied um 4 Uhr nachts in Deutschland (Also 19.00 Uhr Ortszeit hier) und finde ein paar unbeantwortete Fragen und setze mich gemütlich ran, weil ich denke, dass ich Ruhe habe. Und dann hat cauchy alles auf Beobachtung und lässt seinen Wecker klingeln. Oder einen 7.Sinn?
Bei einer Antwort war ich schneller, dann hat er seine gelöscht - aber mittlerweile gucke ich nur noch stichprobenartig in beantwortete Fragen rein (diese war eine). Und davon gibt es im Moment einfach zu viele (was natürlich auch am Zeitunterschied liegt, oder vielleicht daran, dass manche Helfer offenbar an der F5-Taste zu kleben scheinen bzw. per Reload-Geste eine Furche in ihr Display schaben... ;-) Und nicht zuletzt liegt es daran, dass meine zu langen Antworten einfach zu viel Zeit benötigen.


Wie dieser Kommentar.
  ─   joergwausw 30.12.2021 um 20:06

Ich bin immer mal zu unterschiedlichen Zeiten hier und ja, auch häufig nachts. Und ja, wenn ich mit meiner Antwort zu langsam war, nehme ich sie in der Regel auch wieder raus, wenn es inhaltlich dasselbe ist.

Ich finde deine Ausführlichkeit prinzipiell gut, war also keine direkte Kritik. Aber wie du selbst bemerkt hast, ist es die Mühe häufig gar nicht wert. Dann lieber kurz fassen und auf Rückmeldung warten. Dann kann man immer noch ausholen. Und dann weiß man ggf. auch, ob der Frager interessiert ist oder nur die Lösung will.
  ─   cauchy 30.12.2021 um 21:08

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Man teilt deswegen nicht durch die Variable, sondern klammert aus und benutzt den Satz vom Nullprodukt.
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Ich habe das vor 100 Jahren noch so gelernt: :x mit x ungleich 0 und anschließend Untersuchung für x=0. Heute löst man das anders, das war aber nicht die Frage.   ─   monimust 30.12.2021 um 00:23

Dann bist du ja ganz schön alt! ;)

Finde ich hier als Ergänzung aber definitiv erwähnenswert.
  ─   cauchy 30.12.2021 um 00:35

Und wie du häufig anmerkst, schreibt man Ergänzungen als Kommentar und nicht als Antwort ;)   ─   monimust 30.12.2021 um 00:39

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