Wir nennen die lange Seite des Spulenkern \(y\).

1. Hauptbedingung \(A(x,y)=y^2+4xy\) soll maximal werden (Fläche vom Querschnitt). Überlege dir, warum die Hauptbedingung so aussieht.
2. Nebenbedingung: Ziehe eine Linie vom Mittelpunkt zu einer der Ecken des Kerns, die auf dem Kreis liegen. Dann hast du den Radius \(r\). Bilde mit dieser Linie ein rechtwinkliges Dreieck im Kern, so dass du eine Beziehung der Form \(r^2=\ldots + \ldots\) aufstellen kannst (Pythagoras). Überlege dir, wie du die Seiten des Dreiecks durch \(x\) und \(y\) darstellen kannst.
3. Setze die Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein, indem du sie nach \(x\) oder \(y\) auflöst. Beachte, dass die Hauptbedingung dann vom Radius abhängt. Das ist aber kein Problem. Das stellt dann einfach nur einen Parameter dar!
4. Maximiere die Zielfunktion. Beachte auch den Definitionsbereich!
5. Berechne die Fläche des Eisenkerns in Abhängigkeit von \(r\) und dividiere diesen durch die Fläche des Kreises (ebenfalls in Abhängigkeit von \(r\). Dann erhältst du den gesuchten Anteil.