Hallo, ich befasse mich just for fun derzeit mit Annuitätendarlehen (halt die üblichen Darlehen die es bei Smava und Co. gibt).

Und wollte mir da explizite Formeln herleiten, zumindest aber "von Hand" einen Ratenplan erarbeiten.

Dazu wüsste ich gerne ob ich das Prinzip richtig verstanden habe und mein Gerechne so stimmt.

Also, ganz am Anfang bei Kreditauszahlung haben wir ja eine Restschuld von R(0)=K wobei K der Kreditbetrag ist.

Im 1. Monat (wenngleich auch erst an dessen Ende) zahlen wir dann den Tilgungsbetrag T(0)=K/L und den Zinsanteil Z(0)=K*z/12.

Hierbei ist L die Laufzeit in Monaten und z der effektive Jahreszins, als Dezimalzahl (also 23% p.a. wäre z=0,23 und so).
Ergibt eine Annuität für den 1. Monat von

A(0)=T(0)+Z(0)=R(0)*(1/L+z/12)

Weil es halt so ist, ist bei einem Annuitätendarlehen die Annuität immer gleich, also A(n)=A(0) für alle n>=0.

Nun haben wir zu Beginn des Folgemonats, sozusagen nachdem 1 Monat inklusive dessen Zahlungen rum ist (daher auch Index 1),

eine Restschuld von R(1)=R(0)-T(0)=K*(1-1/L).

Die zugehörigen Zahlungen in dem Monat sidn dann Z(1)=R(1)*z/12 und wegen A(1)=A(0) folgt für den Tilgungsanteil

T(1)=A(1)-Z(1)=...=K*1/L*(1+z/12)

(Ich werde übrigens Zwischenrechnungen weglassen. kann die auf Bedarf nachliefern falls sich rausstellt dass das Endergebnis nicht passt)

Genauso geht es weiter:

R(2)=R(1)-T(1)=...=K*(1-(2/L)-(1/L)*(z/12))

T(2)=A(2)-Z(2)

=K(1/L+z/12)-R(2)*z/12=...=K*1/L*(1+z/12+(z/12)^2)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nun wollte ich mir konkret eine explizite Formel für R(i) herleiten, da R ja schön rekursiv definiert ist über R(n+1)=R(n)-T(n)

=R(n)-(A(n)-Z(n))=R(n) - ( K*(1/L+z/12) - R(n)*z/12 )=R(n)*(1+z/12)+(K*(1/L+z/12))

Oder kurzum R(n+1)=R(n)*A+B für bestimmte A und B.

Drum habe ich mir für eine rekursiv definierte Folge

a(n+1)=a(n)*A+B weiter angeguckt dass

a(n+i)=A^i*a(n)+B*(Summe p=0 bis i-1 von (A^p))

=A^i*a(n)+B*((A^i-1)/(A-1))

Damit folgt für n=0:

a(0+i)=a(i)

=A^i*a(0)+B*((A^i-1)/(A-1))

Damit folgt nun für unser Problem R(n+1)=R(n)*A+B

dass sich R explizit berechnen lässt über R(i)=A^i*K+B*((A^i-1)/(A-1)) mit A=(1+z/12) und B=-K*(1/L+z/12)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nun nehmen wir mal an, wir würden das L erst bestimmen wollen (z und K bekannt).

Dann kann man sich ja überlegen dass per Definition nach L Moanten bzw. L mal die selbe Annuität zahlen der Kredit abbezahlt sein.

Also dass R(L)=0 gelten muss.

Darauf aufbauend habe ich die folgende Gleichung für L gefunden:

R(L)=0=A^L*K - K*(1/L+z/12) * ((A^L-1)/(A-1))

Wegen K ungleich Null (was wir so voraussetzen wollen) kann das K noch rausfliegen:

0=A^L - (1/L+z/12) * ((A^L-1)/(A-1))

SO der aktuelle Stand.

Stimmt das Alles so bisher, sowohl vom Grundverständnis hinsichtlich Annuitätendarlehen her als auch von den Berechnungen an sich?

Und wie kann man ggbfls. die letzte Gleichung lösen? :-)