0

Hallo, ich befasse mich just for fun derzeit mit Annuitätendarlehen (halt die üblichen Darlehen die es bei Smava und Co. gibt).

Und wollte mir da explizite Formeln herleiten, zumindest aber "von Hand" einen Ratenplan erarbeiten.

Dazu wüsste ich gerne ob ich das Prinzip richtig verstanden habe und mein Gerechne so stimmt.

Also, ganz am Anfang bei Kreditauszahlung haben wir ja eine Restschuld von R(0)=K wobei K der Kreditbetrag ist.

Im 1. Monat (wenngleich auch erst an dessen Ende) zahlen wir dann den Tilgungsbetrag T(0)=K/L und den Zinsanteil Z(0)=K*z/12.

Hierbei ist L die Laufzeit in Monaten und z der effektive Jahreszins, als Dezimalzahl (also 23% p.a. wäre z=0,23 und so).
Ergibt eine Annuität für den 1. Monat von

A(0)=T(0)+Z(0)=R(0)*(1/L+z/12)

Weil es halt so ist, ist bei einem Annuitätendarlehen die Annuität immer gleich, also A(n)=A(0) für alle n>=0.

 

Nun haben wir zu Beginn des Folgemonats, sozusagen nachdem 1 Monat inklusive dessen Zahlungen rum ist (daher auch Index 1),

eine Restschuld von R(1)=R(0)-T(0)=K*(1-1/L).

Die zugehörigen Zahlungen in dem Monat sidn dann Z(1)=R(1)*z/12 und wegen A(1)=A(0) folgt für den Tilgungsanteil

T(1)=A(1)-Z(1)=...=K*1/L*(1+z/12)

(Ich werde übrigens Zwischenrechnungen weglassen. kann die auf Bedarf nachliefern falls sich rausstellt dass das Endergebnis nicht passt)

Genauso geht es weiter:

R(2)=R(1)-T(1)=...=K*(1-(2/L)-(1/L)*(z/12))

T(2)=A(2)-Z(2)

=K(1/L+z/12)-R(2)*z/12=...=K*1/L*(1+z/12+(z/12)^2)

 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nun wollte ich mir konkret eine explizite Formel für R(i) herleiten, da R ja schön rekursiv definiert ist über R(n+1)=R(n)-T(n)

=R(n)-(A(n)-Z(n))=R(n) - ( K*(1/L+z/12) - R(n)*z/12 )=R(n)*(1+z/12)+(K*(1/L+z/12))

Oder kurzum R(n+1)=R(n)*A+B für bestimmte A und B.

 

Drum habe ich mir für eine rekursiv definierte Folge

a(n+1)=a(n)*A+B weiter angeguckt dass

a(n+i)=A^i*a(n)+B*(Summe p=0 bis i-1 von (A^p))

=A^i*a(n)+B*((A^i-1)/(A-1))

Damit folgt für n=0:

a(0+i)=a(i)

=A^i*a(0)+B*((A^i-1)/(A-1))

 

Damit folgt nun für unser Problem R(n+1)=R(n)*A+B

dass sich R explizit berechnen lässt über R(i)=A^i*K+B*((A^i-1)/(A-1)) mit A=(1+z/12) und B=-K*(1/L+z/12)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nun nehmen wir mal an, wir würden das L erst bestimmen wollen (z und K bekannt).

Dann kann man sich ja überlegen dass per Definition nach L Moanten bzw. L mal die selbe Annuität zahlen der Kredit abbezahlt sein.

Also dass R(L)=0 gelten muss.

Darauf aufbauend habe ich die folgende Gleichung für L gefunden:

R(L)=0=A^L*K - K*(1/L+z/12) * ((A^L-1)/(A-1))

Wegen K ungleich Null (was wir so voraussetzen wollen) kann das K noch rausfliegen:

0=A^L - (1/L+z/12) * ((A^L-1)/(A-1))

SO der aktuelle Stand.

Stimmt das Alles so bisher, sowohl vom Grundverständnis hinsichtlich Annuitätendarlehen her als auch von den Berechnungen an sich?

Und wie kann man ggbfls. die letzte Gleichung lösen? :-)

 

Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 304

 

1
Deine Beiträge sind immer unheimlich schwer zu lesen.

Du kannst deine Rechnungen aber am besten selbst überprüfen, indem du für einen fiktiven Kredit einen Tilgungsplan aufstellst. Zudem berechnet man anhand der Daten die Annuität, woraus sich dann relativ leicht die Laufzeit ermitteln lässt. Darüber hinaus muss aber auch der Zinsanteil sowie der Tilgungsanteil gegeben sein.
  ─   cauchy 17.10.2022 um 16:07

1
Ja, ich müsste vielleicht mal lernen wie man die hässlichen Latexausdrücke schreibt, dann sieht das dann gleich viel schöner aus :-)   ─   densch 17.10.2022 um 22:37

Habe auf https://www.commerzbank.de/kredit-finanzierung/wissen/tilgungsplan-verstehen-und-richtig-nutzen/ mal nahcgelesen und scheine relativ richtig zu liegen mit meienr Berechnung.
Jetzt ist nur noch die Frage wie man die monatlichen beträge herbekommt :-/
  ─   densch 19.10.2022 um 13:40
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Mach dir deine Überlegungen mal einfacher.
Du nimmst einen Kredit K auf. 
Der Kredit soll nach n Jahren zurückgezahlt sein. 
Zur Tilgung steht dem Kredit eine Einzahlungsreihe mit Annuität A gegenüber.(Betrachtung erstmal für nachschüssige jährliche Zahlungen)
Die Einzahlungsreihe hat dann die Formel $ \sum_{t=1}^nA*q^{t-1}=A {q^n-1 \over q-1}$ mit q=1+i.
Der Kreditbetrag K hat nach n Jahren den Wert $K*q^n$.
Abgezahlt ist der Kredit, wenn gilt $K*q^n =A*{q^n -1 \over q-1}$.
Wenn K und i gegeben sind kannst du daraus berechnen:
a) bei gewünschter Laufzeit n die Annuität oder 
b) bei gewünschter Annuität A die Laufzeit.
Anmerkung: Die Annuität muss größer sein als K*i ( anderenfalls tilgst du den Kredit nicht nicht).
Das kannst du dann auf monatliche Zahlungen entsprechend  anwenden.
Diese Antwort melden
geantwortet

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 12.71K

 

Was ist hier bei dir q bzw i, was sagt das aus?

Ich schein wohl keine HAnung von Annuitätsdarlehen zu haben :-/
  ─   densch 18.10.2022 um 19:16

i ist der Zinssatz und q =1+i   ─   scotchwhisky 18.10.2022 um 19:21

Hm, ich bin mir nicht sicher ob ich Alles richtig verstehe, vermutlich nicht.

In minem Fall geht es ja um mmonatliche Bezahlung (man zahlt ja seine Annuität moantlich)
und in der monatlich gezahlten Annuität ist ja ein nicht konstanter Tilgungsanteil der ja die Restschuld mit jeder Annuitätenzahlung senkt.
Und die Zinsen fallen ja immer nur auf die Restschuld.
Heißt für den 1. moant sind Zinsen fällig a la Z(1)=K*i/12.
Danach ist die Restschuld ja kleiner und die Zinsen im Folgemonat also auch kleiner Z(2)=(K-1*A)*i/12
wieder eine Annuität abgezahlt, Zinsen für den Folgemonat Z(3)=(K-2*A)*i/12


Zinsen werden doch einmal im Monat berechnet, oder?
  ─   densch 18.10.2022 um 21:25

Die Formel oben gilt auch, wenn n die Anzahl der Monate ist
Du musst dann aber den Monatszinssatz \( i_M\) und daraus folgend ein neues \(q_M=1+i_M\) verwenden
  ─   scotchwhisky 19.10.2022 um 06:14

Kommentar schreiben