Eigenvektoren

Aufrufe: 490     Aktiv: 12.07.2020 um 12:25
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Guten Abend, kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Danke schon mal :) 

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Beweis für "\(\Longrightarrow\)". Sei also \(f(v+w)=\mu (v+w)\). Dann

\(\mu (v+w) =f(v+w) = f(v)+f(w) =\lambda_1 v+ \lambda_2 w\)

Daraus folgt \( (\lambda_1-\mu) v +  (\lambda_2-\mu) w = 0\). Angenommen, \(\lambda_1\ne\lambda_2\), dann sind \(v\) und \(w\) linear unabhängig (Eigenvektoren zu versch. Eigenwerten sind stets linear unabhängig). Dann folgt

\( \lambda_1-\mu  = 0\) und \( \lambda_2-\mu  = 0\), also  \(\lambda_1 =\lambda_2\), Widerspruch.

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