Wenn du die Frage nach dem warum stellst, dann kann ich nur auf die Definition des Differentialquotienten verweisen. Damit solltest du die Ableitung der $e$-Funktion unter Zuhilfenahme der Reihendarstellung ermitteln können. Dann erkennst du, warum das so ist.

Etwas anschaulicher: Die e-Funktion ist eine Exponentialfunktion. Sie ist streng monoton wachsend auf den gesamten reellen Zahlen. Schaut man sich den Graphen an, sieht man, dass der Graph immer schneller wächst. Also nimmt auch die Steigung immer stärker zu. Das legt die Annahme nahe, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion wieder eine Exponentialfunktion ist. Dies ist auch so. Und die Eulersche Zahl ist eben jene Basis, so dass Funktion und Ableitung übereinstimmen.