Berechnen von Summe 1 zu unendlich von (n^3)/(3^n)

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Wie berechne ich die Summe 1 zu unendlich von (n^3)/(3^n)?

Das Ergebnis muss 33/8 sein, aber wie komme ich rechnerisch darauf? 

Bitte um ausführliche Erklärung.

Vielen Dank!
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Betrachte die Reihe \( \sum_{k=1}^\infty n^3 x^n \). Den gesuchten Wert erhälst du dann für \( x = \frac{1}{3} \).
Es gilt
\( \sum_{k=1}^\infty n^3 x^n \) \( = x \cdot \frac{d}{dx} \left( \sum_{k=1}^\infty n^2 x^n \right) \) \( = x \cdot \frac{d}{dx} \left( x \cdot \frac{d}{dx} \left( \sum_{k=1}^\infty n x^n \right) \right) \) \( = x \cdot \left( x \cdot \frac{d}{dx} \left( x \cdot \frac{d}{dx} \left( \sum_{k=1}^\infty x^n \right) \right) \right) \)
Mithilfe der Formel für die geometrische Reihe lässt sich also eine explizite Formel für diese Reihe herleiten. Das sollte dich hoffentlich zum Ziel führen :)
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