Betrachte die Reihe \( \sum_{k=1}^\infty n^3 x^n \). Den gesuchten Wert erhälst du dann für \( x = \frac{1}{3} \).
Es gilt
\( \sum_{k=1}^\infty n^3 x^n \) \( = x \cdot \frac{d}{dx} \left( \sum_{k=1}^\infty n^2 x^n \right) \) \( = x \cdot \frac{d}{dx} \left( x \cdot \frac{d}{dx} \left( \sum_{k=1}^\infty n x^n \right) \right) \) \( = x \cdot \left( x \cdot \frac{d}{dx} \left( x \cdot \frac{d}{dx} \left( \sum_{k=1}^\infty x^n \right) \right) \right) \)
Mithilfe der Formel für die geometrische Reihe lässt sich also eine explizite Formel für diese Reihe herleiten. Das sollte dich hoffentlich zum Ziel führen :)