Umformung von Hospital

Aufrufe: 42     Aktiv: 20.04.2021 um 15:48

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Hallo, kann mir jemand diesen Umformungsschritt erklären? Was wird da gemacht? 

Lg,  Bastian

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Student, Punkte: 370

 

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1 Antwort
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Du hast es ja eigentlich schon im Titel stehen, es wird die Regel von L'Hopital angewandt. Diese sagt ja, dass für \(a\in\mathbb R\) und zwei stetig differenzierbare Funktionen \(f,g\), falls \(f,g\) beide gegen \(0\) oder gegen \(\pm\infty\) gehen für \(x\to a\), dass dann $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$ gilt, falls der rechte Grenzwert existiert. Genau das wird hier benutzt, es werden einfach die Ableitungen von Zähler und Nenner gebildet.
Vielleicht verwirrt dich die Ableitung des Nenners. Mit der Produktregel gilt $$\left[(1+x)\ln(1+x)+x\right]'=(1+x)'\ln(1+x)+(1+x)(\ln(1+x))'+1=\ln(1+x)+\frac{1+x}{1+x}+1=\ln(1+x)+1+1.$$
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Asoo, das ist die zweite Ableitung. Davor wurde schon eine Ableitung gebildet. Ich habe das ganze Beispiel rein gestellt. Muss man immer soviele Ableitungen bilden, wie es geht?   ─   kamil 20.04.2021 um 14:20

Man kann jedenfalls die Regel mehrfach hintereinander anwenden. Es kann aber auch sein, dass die Regel überhaupt nicht hilft, also z.B. dass alle Ableitungen kein Ablesen des Grenzwertes erlauben.   ─   stal 20.04.2021 um 14:39

Korrekt, danke für die schnelle Antwort   ─   kamil 20.04.2021 um 15:48

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