Du hast es ja eigentlich schon im Titel stehen, es wird die Regel von L'Hopital angewandt. Diese sagt ja, dass für \(a\in\mathbb R\) und zwei stetig differenzierbare Funktionen \(f,g\), falls \(f,g\) beide gegen \(0\) oder gegen \(\pm\infty\) gehen für \(x\to a\), dass dann $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$ gilt, falls der rechte Grenzwert existiert. Genau das wird hier benutzt, es werden einfach die Ableitungen von Zähler und Nenner gebildet.
Vielleicht verwirrt dich die Ableitung des Nenners. Mit der Produktregel gilt $$\left[(1+x)\ln(1+x)+x\right]'=(1+x)'\ln(1+x)+(1+x)(\ln(1+x))'+1=\ln(1+x)+\frac{1+x}{1+x}+1=\ln(1+x)+1+1.$$