Randpunkte

Aufrufe: 921     Aktiv: 19.01.2020 um 12:36

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Ist 1,00000001 ein Randpunkt oder nicht? In welchm Bereich untersuche ich das? 

Bei 1,00000001 kann ich theoretisch um eine sehr kleine Umgebung wie 0,000000000000005 untersuchen aber ich kan auch bei 0,01 untersuchen. Dann hätte ich ja verschiedene ERGEBNISSE. Einmal würde die ganze Umgebung von 1 innerhalb von dem Intervall sein und das andere Mal wäre ein Teil von der Umgebung von 1 außerhalb und innerhalb des Intervalls.

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Um deine Frage kurz und knapp zu beantworten, \(1.00000001 \) ist kein Randpunkt von \( I = [1,5]\) da es eine Umgebung \(U :=U_\varepsilon(1.00000001)\) gibt mit \(U\subseteq I\). Bedeutet ein Punkt \(x \) ist nur dann ein Randpunkt von einer Menge \(X\), wenn \(\textbf{keine}\) Umgebung \( U :=U_\varepsilon(x)\) mit \( U \subseteq X\) existiert.

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Student, Punkte: 1.06K

 

Ja, aber was wähle ich als Umgebung? Wenn ich um die Umgebung Δ untersuche? Was heißt das? Welchen Wert hat dann Delta, um zu untersuchen, ob der von mir untersuchte Punkt ein Randpunkt ist?   ─   itsmeagain 18.01.2020 um 13:20

Man kann beispielsweise \( \varepsilon = 0.000000005 \) wählen, dann ist \( (1.00000001-\varepsilon , 1.00000001+ \varepsilon) \subseteq [1,5]\).   ─   chrispy 19.01.2020 um 01:10

Aber es ist irgendwie nicht vorgegeben wie groß man ε wählen darf/soll oder? Was wenn ich ε=0,00005 wählen will, geht das? 0,00005 ist auch ziemlich kleiner Bereich.

  ─   itsmeagain 19.01.2020 um 11:59

alle \( \varepsilon > 0 \) sind ok.   ─   chrispy 19.01.2020 um 11:59

Ja aber wenn ich ε=0,00005 wähle, gilt (1.00000001-ε , 1.0000001+ε) ⊆ [1, 5] nicht mehr, da ich außerhalb und innerhalb des Intervalls bin. Per Definition wäre dann 1.00000001 ein Randpunkt aber nur weil ich eine andere Umgebung untersucht habe.   ─   itsmeagain 19.01.2020 um 12:29

Du verstehst das Falsch. Ein Punkt \(x\) ist genau dann ein Randpunkt von \(I\), wenn es \( \textbf{keine}\) Umgebung \(U_{\varepsilon}(x)\) gibt mit \(U_\varepsilon(x) \subseteq I\). Bedeutet wenn es \(\textbf{kein} ~ \varepsilon > 0 \) gibt mit \( (x-\varepsilon , x+\varepsilon) \subseteq I\)   ─   chrispy 19.01.2020 um 12:34

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