(Twitter)
1
Um deine Frage kurz und knapp zu beantworten, \(1.00000001 \) ist kein Randpunkt von \( I = [1,5]\) da es eine Umgebung \(U :=U_\varepsilon(1.00000001)\) gibt mit \(U\subseteq I\). Bedeutet ein Punkt \(x \) ist nur dann ein Randpunkt von einer Menge \(X\), wenn \(\textbf{keine}\) Umgebung \( U :=U_\varepsilon(x)\) mit \( U \subseteq X\) existiert.
Diese Antwort melden
Link
geantwortet
chrispy
Student, Punkte: 1.06K
Student, Punkte: 1.06K
Ja, aber was wähle ich als Umgebung? Wenn ich um die Umgebung Δ untersuche? Was heißt das? Welchen Wert hat dann Delta, um zu untersuchen, ob der von mir untersuchte Punkt ein Randpunkt ist?
─
itsmeagain
18.01.2020 um 13:20
Man kann beispielsweise \( \varepsilon = 0.000000005 \) wählen, dann ist \( (1.00000001-\varepsilon , 1.00000001+ \varepsilon) \subseteq [1,5]\).
─
chrispy
19.01.2020 um 01:10
Aber es ist irgendwie nicht vorgegeben wie groß man ε wählen darf/soll oder? Was wenn ich ε=0,00005 wählen will, geht das? 0,00005 ist auch ziemlich kleiner Bereich.
─ itsmeagain 19.01.2020 um 11:59
─ itsmeagain 19.01.2020 um 11:59
alle \( \varepsilon > 0 \) sind ok.
─
chrispy
19.01.2020 um 11:59
Ja aber wenn ich ε=0,00005 wähle, gilt (1.00000001-ε , 1.0000001+ε) ⊆ [1, 5] nicht mehr, da ich außerhalb und innerhalb des Intervalls bin. Per Definition wäre dann 1.00000001 ein Randpunkt aber nur weil ich eine andere Umgebung untersucht habe.
─
itsmeagain
19.01.2020 um 12:29
Du verstehst das Falsch. Ein Punkt \(x\) ist genau dann ein Randpunkt von \(I\), wenn es \( \textbf{keine}\) Umgebung \(U_{\varepsilon}(x)\) gibt mit \(U_\varepsilon(x) \subseteq I\). Bedeutet wenn es \(\textbf{kein} ~ \varepsilon > 0 \) gibt mit \( (x-\varepsilon , x+\varepsilon) \subseteq I\)
─
chrispy
19.01.2020 um 12:34