Hey,

die Determinante \( D(x,y) \) hast du oben ja bereits korrekt berechnet. Nun scheint mir die Aufgabe darauf abzuzielen, dass du desweiteren die Determinante \( D(y,x) \), also mit vertauschten Werten für \( x \) und \( y \) berechnen sollst. Daraus folgt:

\( D(y,x) = 3y^2 + x^3 + 4 - 4xy - 3x \)

Du sollst nun laut der Aufgabenstellung beweisen, dass es unendlich viele Lösungen der Gleichung \( D(x,y) = D(y,x) \) gibt.

Also könntest du die entsprechenden Determinanten gleichsetzen

\( 3x^2 + y^3 + 4 - 4xy - 3y = 3y^2 + x^3 + 4 - 4xy - 3x \)

Jetzt musst du nach meinem Verständnis zeigen, dass diese Gleichung unendlich viele Lösungen besitzt.

In dem man die \( x \) und \(y \) Terme auf die unterschiedlichen Seiten zieht, erhält man

\( -x^3 + 3x^2 + 3x = -y^3 + 3y^2 + 3y \)

Wie oben im Kommentar schon erwähnt, ist diese Gleichung erfüllt, wenn \( x = y \). Damit hat man unendlich viele Lösungen. (Wenn auch kein wirklich spannendes Resultat in meinen Augen).

Vielleicht habe ich die Aufgabe auch falsch verstanden, oder etwas übersehen.

VG
Stefan

Wenn \(x\) und \(y\) verschieden seien sollen, dann kann man wie folgt vorgehen:

Wir definieren die Funktion \(f(z)=z^3-3z^2-3z\).

Es ist \(D(x,y)=D(y,x)\) genau dann, wenn \( 0 = D(x,y) - D(y,x) = y^3-3y^2-3y-(x^3-3x^2-3x) = f(y)-f(x) \) bzw. \(f(x)=f(y) \).

Die Funktion \(f\) ist stetig und es gilt \(f(0)=0\), \(f(1) = -5 \) und \(\lim_{z \to - \infty} f(z) = - \infty \). Daher finden wir nach dem Zwischenwertsatz für jedes \(r \in (-5,0) \) ein \(x \in (0,1)\) und ein \(y \in (- \infty,0) \) mit \(f(x) = r = f(y) \). Da es unendlich viele Zahlen im Intervall \((-5,0)\) gibt, liefert dies unendliche viele Paare \((x,y)\) mit \(D(x,y)=D(y,x)\) und für diese Paare gilt per Konstruktion \(x \neq y\).