Beim Umformen sollte der Limes nicht mitgeschrieben werden, da die Gleichheit nicht sichergestellt ist, wenn die Existenz des Grenzwertes nicht feststeht. Also Term umformen und am Ende erst den Grenzwert bilden. Ist zudem auch weniger Schreibarbeit. Davon abgesehen, steht hier überall ein $n$, dass $x$. 

Da du $x\rightarrow -\infty$ betrachtest, gilt natürlich $\sqrt{x^2}=-x$, wodurch dann das Minus bei deinem Ergebnis zustandekommt. Der Fehler ist also in der zweiten Zeile letzte Gleichung, als du die Wurzel im Nenner ziehst.

Deine Rechnung sieht ganz gut aus. Ich denke, der Fehler liegt darin, dass $\sqrt{4}$ zwei Lösungen hat, nämlich -2 und 2.

Welche Lösung musst du nehmen? Ich bin da gerade selber nicht sattelfest. Aber du betrachtest ja den Grenzwert gegen $-\infty$

EDIT:
 
Meine Antwort ist mathematisch falsch. War halt meine erste Überlegung dazu. mikn hat natürlich recht, dass $\sqrt4 = 2$ ist, da die Quadratwurzel  $\sqrt4$ die eindeutig bestimmte nichtnegative Zahl ist, für die gilt $x^2=4$.

Hier ändert sich das Vorzeichen nicht, sondern beim Ausklammern von x aus der Wurzel. (s. Antwort cauchy und Kommentare mikn)