Beweis stochastischer Unabhängigkeit

Aufrufe: 149     Aktiv: 03.11.2022 um 14:30
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Hallo,

ich habe \(A\), \(B\) und \(C\) als unabhängige Ereignisse gegeben und soll zeigen, dass dann auch \(A \cap B\) und \(C\) unabhängig sind. Mein bisheriger Lösungsweg ist wie folgt:

\(
\begin{align}
\mathbb{P}((A \cap B) \cap C) &= \mathbb{P}(A \cap B) \cdot \mathbb{P}(C) \\
&= \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B) \cdot \mathbb{P}(C)\end{align}\)

Die letzte Zeile müsste meiner Meinung nach gelten, da ich \(A\), \(B\) und \(C\) ja als unabhängig geben habe. Jedoch glaube ich nicht das die erste Gleichheit gilt, da ich da doch eigentlich schon annehme das das zu zeigende gilt. Allerdings habe ich für den Beweis auch nur die Definitionen zur Verfügung, sodass mir auch erstmal keine anderen Möglichkeit eingefallen ist. Übersehe ich hier einen fundamentalen Zusammenhang oder ist meine Lösung vielleicht doch richtig?

Vielen Dank im Vorraus,
Kevin
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gefragt

Student, Punkte: 104

 
Deine Überlegung ist zutreffend. Aber wenn Dir nichts anderes einfällt, heißt das nicht, dass Dir ein unzulässiger Beweisschritt erlaubt ist.
Poste mal die gesamte Aufgabe als Foto (oben "Frage bearbeiten").   ─   mikn 02.11.2022 um 20:07
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1 Antwort
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Tatsächlich ist der Beweis sehr einfach. Da $A$, $B$ und $C$ unabhängig sind, sind diese drei Ereignisse zum einen paarweise unabhängig und es gilt $P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)$. Du musst dir also die Definition nur genau anschauen.

In deinem ersten Schritt hast du bereits das ausgenutzt, was du eigentlich zeigen sollst.
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Selbstständig, Punkte: 26.64K

 
Deshalb hab ich nach der Aufgabenstellung gefragt. Ist ja wieder mal kein Original, sondern selbst paraphrasiert.
Nur paarweise stoch. unabh. reicht nicht. Wenn die Familie(!) $A,B,$ stoch. unabh. ist, dann ist das - da hast Du natürlich recht - mehr oder weniger per Def. trivial.   ─   mikn 03.11.2022 um 00:16
Wenn man von stoch. unabhängig bei drei (und mehr) Ereignissen spricht, ist damit sowohl paarweise als auch als Familie gemeint. Zumindest kenne ich die Definition nur so. Wenn nur die Familie unabhängig ist, folgt daraus nämlich nicht, dass die Ereignisse paarweise untereinander unabhängig sind. Da muss man aufpassen.

Und wenn sonst gar nichts dazu in der Vorlesung war, wird es auch schwierig zu beweisen. Falls das überhaupt gilt. Hab ich so jetzt nicht überprüft. Hilfreich könnte da sonst die Siebformel von Sylvester sein: $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$ sein. Man muss da dann ein bisschen mit den Mengen basteln.   ─   cauchy 03.11.2022 um 00:41
Ich traue diesen selbst umformulierten Aufgabenstellungen nicht. Daran scheitern hier ja viele Fragys.
Nach meinen Informationen schließt "Familie unabhängig" paarweise unabh. per Def. ein.   ─   mikn 03.11.2022 um 10:32
Erstmal danke für die Antwort, gerade bei sehr einfachen Beweisen stolpere ich gerne, da es mir so offensichtlich erscheint das ich dann manchmal gar nicht weiß wie man das zeigt. Als Lösung habe ich nun \(\mathbb{P}((A \cap B) \cap C) = \mathbb{P}(A \cap B \cap C) = \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B) \cdot \mathbb{P}(C) = \mathbb{P}(A \cap B) \cdot \mathbb{P}(C)\), was am Ende dann genau dem geforderten \(\mathbb{P}((A \cap B) \cap C) = \mathbb{P}(A \cap B) \cdot \mathbb{P}(C)\) entspricht. Und ja, ich hatte die Aufgabe ein wenig gekürzt, da es mir hier primär um einen kleinen Gedankenanstoß ging, als um die komplette Lösung. Wenn es euch genau interessiert, das war die Aufgabe:

Sei \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) ein Wahrscheinlichkeitsraum und \(A, B, C, D \in \mathcal{A}\). Es seien \(A, B, C\) und \(D\) unabhängige Ereignisse. Zeigen Sie direkt mit der Definition von Unabhängigkeit von Ereignissen, dass dann auch \(A \cap B, C\) und \(D\) unabhängig sind.   ─   kingkevin23 03.11.2022 um 12:16
Auch für Gedankenanstöße braucht man die komplette Aufgabenstellung. Es ist ein weitverbreiteter Irrtum von Fragern hier im Forum, dass ein Teil der Aufgabenstellung Deko ist, die man auch weglassen kann. Und der Gedankenanstoß steht ja direkt in der Aufgabenstellung, genau in dem Teil, den Du weggelassen hast. Genau diesen Anstoß hast Du jetzt von cauchy gekriegt, und plötzlich geht es...   ─   mikn 03.11.2022 um 12:22
Wenn du mir jetzt noch verrätst wo der Gedankenanstoß in der Aufgabe steht, dann stimme ich dir zu. Ich persönlich kann dem leider keine weitere relevante Information entnehmen...   ─   kingkevin23 03.11.2022 um 12:35
"...direkt mit der Definition..." Zitat cauchy: "...die Definition nur genau anschauen....".
Eigentlich alles klar, wenn man richtig liest.   ─   mikn 03.11.2022 um 12:41
Das ich nur die Definitionen zur Verfügung habe erwähnte ich doch auch bereits in meiner Ursprungsfrage, sehe jetzt keine Mehrwert zur ganzen Aufgabe...   ─   kingkevin23 03.11.2022 um 12:45
Zur Verfügung haben und zwingend direkt zum Beweis benutzen ist was anderes. Bitte genau lesen. Beim nächsten Mal bitte ohne Zensur die komplette Aufgabenstellung als Foto hochladen. Spart uns einige Zeit.   ─   mikn 03.11.2022 um 12:48
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Du sagtest, dass du nur die Definition hast, aber nicht, dass du nur diese verwenden darfst. Das ist ein Unterschied. Den Fall gibt es übrigens auch mit den Ereignissen $A$ und $B\cup C$. Da reicht dann die Definition nicht mehr aus und man muss einiges mehr rechnen. Deswegen wäre hier gut zu wissen gewesen, dass man solche Formeln wie die Siebformel von Sylvester gar nicht braucht.   ─   cauchy 03.11.2022 um 12:49
Okay, das leuchtet ein. Danke!   ─   kingkevin23 03.11.2022 um 14:30

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