Beweis stochastischer Unabhängigkeit

Aufrufe: 344     Aktiv: 03.11.2022 um 14:30

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Hallo,

ich habe \(A\), \(B\) und \(C\) als unabhängige Ereignisse gegeben und soll zeigen, dass dann auch \(A \cap B\) und \(C\) unabhängig sind. Mein bisheriger Lösungsweg ist wie folgt:

\(
\begin{align}
\mathbb{P}((A \cap B) \cap C) &= \mathbb{P}(A \cap B) \cdot \mathbb{P}(C) \\
&= \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B) \cdot \mathbb{P}(C)\end{align}\)

Die letzte Zeile müsste meiner Meinung nach gelten, da ich \(A\), \(B\) und \(C\) ja als unabhängig geben habe. Jedoch glaube ich nicht das die erste Gleichheit gilt, da ich da doch eigentlich schon annehme das das zu zeigende gilt. Allerdings habe ich für den Beweis auch nur die Definitionen zur Verfügung, sodass mir auch erstmal keine anderen Möglichkeit eingefallen ist. Übersehe ich hier einen fundamentalen Zusammenhang oder ist meine Lösung vielleicht doch richtig?

Vielen Dank im Vorraus,
Kevin
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Tatsächlich ist der Beweis sehr einfach. Da $A$, $B$ und $C$ unabhängig sind, sind diese drei Ereignisse zum einen paarweise unabhängig und es gilt $P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)$. Du musst dir also die Definition nur genau anschauen.

In deinem ersten Schritt hast du bereits das ausgenutzt, was du eigentlich zeigen sollst.
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 

Wenn man von stoch. unabhängig bei drei (und mehr) Ereignissen spricht, ist damit sowohl paarweise als auch als Familie gemeint. Zumindest kenne ich die Definition nur so. Wenn nur die Familie unabhängig ist, folgt daraus nämlich nicht, dass die Ereignisse paarweise untereinander unabhängig sind. Da muss man aufpassen.

Und wenn sonst gar nichts dazu in der Vorlesung war, wird es auch schwierig zu beweisen. Falls das überhaupt gilt. Hab ich so jetzt nicht überprüft. Hilfreich könnte da sonst die Siebformel von Sylvester sein: $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$ sein. Man muss da dann ein bisschen mit den Mengen basteln.
  ─   cauchy 03.11.2022 um 00:41

Erstmal danke für die Antwort, gerade bei sehr einfachen Beweisen stolpere ich gerne, da es mir so offensichtlich erscheint das ich dann manchmal gar nicht weiß wie man das zeigt. Als Lösung habe ich nun \(\mathbb{P}((A \cap B) \cap C) = \mathbb{P}(A \cap B \cap C) = \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B) \cdot \mathbb{P}(C) = \mathbb{P}(A \cap B) \cdot \mathbb{P}(C)\), was am Ende dann genau dem geforderten \(\mathbb{P}((A \cap B) \cap C) = \mathbb{P}(A \cap B) \cdot \mathbb{P}(C)\) entspricht. Und ja, ich hatte die Aufgabe ein wenig gekürzt, da es mir hier primär um einen kleinen Gedankenanstoß ging, als um die komplette Lösung. Wenn es euch genau interessiert, das war die Aufgabe:

Sei \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) ein Wahrscheinlichkeitsraum und \(A, B, C, D \in \mathcal{A}\). Es seien \(A, B, C\) und \(D\) unabhängige Ereignisse. Zeigen Sie direkt mit der Definition von Unabhängigkeit von Ereignissen, dass dann auch \(A \cap B, C\) und \(D\) unabhängig sind.
  ─   kingkevin23 03.11.2022 um 12:16

Wenn du mir jetzt noch verrätst wo der Gedankenanstoß in der Aufgabe steht, dann stimme ich dir zu. Ich persönlich kann dem leider keine weitere relevante Information entnehmen...   ─   kingkevin23 03.11.2022 um 12:35

Das ich nur die Definitionen zur Verfügung habe erwähnte ich doch auch bereits in meiner Ursprungsfrage, sehe jetzt keine Mehrwert zur ganzen Aufgabe...   ─   kingkevin23 03.11.2022 um 12:45

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Du sagtest, dass du nur die Definition hast, aber nicht, dass du nur diese verwenden darfst. Das ist ein Unterschied. Den Fall gibt es übrigens auch mit den Ereignissen $A$ und $B\cup C$. Da reicht dann die Definition nicht mehr aus und man muss einiges mehr rechnen. Deswegen wäre hier gut zu wissen gewesen, dass man solche Formeln wie die Siebformel von Sylvester gar nicht braucht.   ─   cauchy 03.11.2022 um 12:49

Okay, das leuchtet ein. Danke!   ─   kingkevin23 03.11.2022 um 14:30

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