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Tatsächlich ist der Beweis sehr einfach. Da $A$, $B$ und $C$ unabhängig sind, sind diese drei Ereignisse zum einen paarweise unabhängig und es gilt $P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)$. Du musst dir also die Definition nur genau anschauen.
In deinem ersten Schritt hast du bereits das ausgenutzt, was du eigentlich zeigen sollst.
In deinem ersten Schritt hast du bereits das ausgenutzt, was du eigentlich zeigen sollst.
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cauchy
Selbstständig, Punkte: 30.55K
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Erstmal danke für die Antwort, gerade bei sehr einfachen Beweisen stolpere ich gerne, da es mir so offensichtlich erscheint das ich dann manchmal gar nicht weiß wie man das zeigt. Als Lösung habe ich nun \(\mathbb{P}((A \cap B) \cap C) = \mathbb{P}(A \cap B \cap C) = \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B) \cdot \mathbb{P}(C) = \mathbb{P}(A \cap B) \cdot \mathbb{P}(C)\), was am Ende dann genau dem geforderten \(\mathbb{P}((A \cap B) \cap C) = \mathbb{P}(A \cap B) \cdot \mathbb{P}(C)\) entspricht. Und ja, ich hatte die Aufgabe ein wenig gekürzt, da es mir hier primär um einen kleinen Gedankenanstoß ging, als um die komplette Lösung. Wenn es euch genau interessiert, das war die Aufgabe:
Sei \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) ein Wahrscheinlichkeitsraum und \(A, B, C, D \in \mathcal{A}\). Es seien \(A, B, C\) und \(D\) unabhängige Ereignisse. Zeigen Sie direkt mit der Definition von Unabhängigkeit von Ereignissen, dass dann auch \(A \cap B, C\) und \(D\) unabhängig sind. ─ kingkevin23 03.11.2022 um 12:16
Sei \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) ein Wahrscheinlichkeitsraum und \(A, B, C, D \in \mathcal{A}\). Es seien \(A, B, C\) und \(D\) unabhängige Ereignisse. Zeigen Sie direkt mit der Definition von Unabhängigkeit von Ereignissen, dass dann auch \(A \cap B, C\) und \(D\) unabhängig sind. ─ kingkevin23 03.11.2022 um 12:16
Wenn du mir jetzt noch verrätst wo der Gedankenanstoß in der Aufgabe steht, dann stimme ich dir zu. Ich persönlich kann dem leider keine weitere relevante Information entnehmen...
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kingkevin23
03.11.2022 um 12:35
Das ich nur die Definitionen zur Verfügung habe erwähnte ich doch auch bereits in meiner Ursprungsfrage, sehe jetzt keine Mehrwert zur ganzen Aufgabe...
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kingkevin23
03.11.2022 um 12:45
Du sagtest, dass du nur die Definition hast, aber nicht, dass du nur diese verwenden darfst. Das ist ein Unterschied. Den Fall gibt es übrigens auch mit den Ereignissen $A$ und $B\cup C$. Da reicht dann die Definition nicht mehr aus und man muss einiges mehr rechnen. Deswegen wäre hier gut zu wissen gewesen, dass man solche Formeln wie die Siebformel von Sylvester gar nicht braucht.
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cauchy
03.11.2022 um 12:49
Okay, das leuchtet ein. Danke!
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kingkevin23
03.11.2022 um 14:30
Und wenn sonst gar nichts dazu in der Vorlesung war, wird es auch schwierig zu beweisen. Falls das überhaupt gilt. Hab ich so jetzt nicht überprüft. Hilfreich könnte da sonst die Siebformel von Sylvester sein: $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$ sein. Man muss da dann ein bisschen mit den Mengen basteln. ─ cauchy 03.11.2022 um 00:41