Untergruppe - Untergruppenerzeugung

Aufrufe: 33     Aktiv: 16.02.2021 um 21:15

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Ich habe folgendes Problem bezüglich der Erzeugung einer Untergruppe:

Ansatz:
Gegeben ist PI = (12) (345) Eine Gruppe wird erzeugt, indem man das eine Element immer wieder mit sich selbst verknüpft=>
(12) (345) o (12) (345) = (1) (2) (354) damit haben wir zwei Elemente
(12) (345) o (12) (345) o (12) (345) = (12) (3) (4) (5)  (drittes Element)
(12) (345) o (12) (345) o (12) (345) o (12) (345) = (1) (2) (345)
Damit hätten wir : {(12)(345), (1) (2) (354), (12) (3) (4) (5)} .: die Elemente werden erzeugt, die Ordnung ist endlich

Laut Gruppenaxiom muss es ein Inverses und ein neutrales geben -> diese werden aber durch die Permutation nicht erzeugt => Invers wäre (21) (543), und neutrales wäre die Identität
Die Frage, die sich stellt, muss das Inverse und das neutrale auch in der Gruppe drinnen sein (auch wenn es lt. Angabe nicht erzeugt wird) Andernfalls hätte U nur 3 Elemente => Die Orndung von |G| sei 5! = 120 und theoretisch teilt 3 120, genauso wie 5 (Lagrange), laut Gruppenaxiom muss jedoch gelten
(i) Assoziativ
(ii) neutral (Identität)
(iii) Inverses (Umdrehen)
Muss das dann genauso in die erzeugte Untergruppe hineingegeben werden, sodass die erzeugte Untergruppe
{id, (21) (543), (1) (2) (354), (12) (3) (4) (5), (12) (345)} wäre?

Vielen Dank schon mal :)
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1 Antwort
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Warum hast du denn bei der vierten Potenz aufgehört? Du musst solange weiter rechnen, bis das neutrale Element herauskommt. Du bekommst (übrigens lässt man 1-Zykel einfach weg) \begin{align*}((12)(345))^1&=(12)(345),\\((12)(345))^2&=(354),\\((12)(345))^3&=(12),\\((12)(345))^4&=(345),\\((12)(345))^5&=(12)(354),\\((12)(345))^6&=\mathtt{id}\end{align*} und ab dann geht es offensichtlich wieder von vorne los. Man kann allgemein zeigen, dass \(\langle g\rangle=\{g^n\ |\ n\in\mathbb Z\}\) eine Untergruppe ist. Für endliche Gruppen reicht es, nur positive Potenzen zu nehmen und solange zu potenzieren, bis man das neutrale Element erreicht (wenn die Gruppe endlich ist, muss das irgendwann passieren). Ist \(g=(12)(345)\), dann ist \(g^6=\mathtt{id}\), also \(g\cdot g^5=\mathtt{id}\) und damit \(g^{-1}=g^5\). Das ist das Prinzip mit dem man sicherstellen kann, das Inverse dabei immer enthalten sind. Die meisten deiner Fragen erübrigen sich also, da Inverse und neutrale Elemente eben erzeugt werden. Die Ordnung einer zyklischen Untergruppe von \(S_n\) ist übrigens immer das kleinste gemeinsame Vielfache der Zykel des Erzeugenden.
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Danke, wieder verrechnet, keine Ahnung, könnte es theoretisch passieren, dass zwei gleiche Elemente vorkommen, z.B. dass man 2x auf (12) als Ergebnis kommt?
  ─   infomarvin 16.02.2021 um 21:07

Nein, bevor man ein Element zweimal trifft, muss dazwischen das neutrale Element liegen: Sei \(g^n=g^m\) für \(n>m\in\mathbb N\). Dann ist (Potenzgesetze) \(g^{n-m}=\mathtt{id}\). Wenn du also solange potenzierst, bis du das neutrale Element triffst, durchläufst du alle Untergruppenelemente genau einmal.   ─   stal 16.02.2021 um 21:15

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