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Warum hast du denn bei der vierten Potenz aufgehört? Du musst solange weiter rechnen, bis das neutrale Element herauskommt. Du bekommst (übrigens lässt man 1-Zykel einfach weg) \begin{align*}((12)(345))^1&=(12)(345),\\((12)(345))^2&=(354),\\((12)(345))^3&=(12),\\((12)(345))^4&=(345),\\((12)(345))^5&=(12)(354),\\((12)(345))^6&=\mathtt{id}\end{align*} und ab dann geht es offensichtlich wieder von vorne los. Man kann allgemein zeigen, dass \(\langle g\rangle=\{g^n\ |\ n\in\mathbb Z\}\) eine Untergruppe ist. Für endliche Gruppen reicht es, nur positive Potenzen zu nehmen und solange zu potenzieren, bis man das neutrale Element erreicht (wenn die Gruppe endlich ist, muss das irgendwann passieren). Ist \(g=(12)(345)\), dann ist \(g^6=\mathtt{id}\), also \(g\cdot g^5=\mathtt{id}\) und damit \(g^{-1}=g^5\). Das ist das Prinzip mit dem man sicherstellen kann, das Inverse dabei immer enthalten sind. Die meisten deiner Fragen erübrigen sich also, da Inverse und neutrale Elemente eben erzeugt werden. Die Ordnung einer zyklischen Untergruppe von \(S_n\) ist übrigens immer das kleinste gemeinsame Vielfache der Zykel des Erzeugenden.
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stal
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Nein, bevor man ein Element zweimal trifft, muss dazwischen das neutrale Element liegen: Sei \(g^n=g^m\) für \(n>m\in\mathbb N\). Dann ist (Potenzgesetze) \(g^{n-m}=\mathtt{id}\). Wenn du also solange potenzierst, bis du das neutrale Element triffst, durchläufst du alle Untergruppenelemente genau einmal.
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stal
16.02.2021 um 21:15
─ infomarvin 16.02.2021 um 21:07