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Hallo,
wenn ich das richtig sehe, hast du dich bei der Berechnung der Zeilenstufenform verrechnet. Ich erhalte
$$ \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{-1}{4} & 1 & 0 & 0 \\ \frac{-1}{4} & \frac{-1}{15} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{-4}{15} & \frac{-2}{7} & 1 \end{matrix}\right) $$
Ich weiß nicht ob das für andere auch so ist, aber ich fand es oft hilfreich mir die \( L \) und \( U \) Matrix einmal allgemein aufzuschreiben zu mutliplizieren und einen Koeffizientenvergleich durchzuführen
$$ L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 & 0 \\ l_{41} & l_{42} & l_{43} &1 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & u_{14} \\ 0 & u_{22} & u_{23} & u_{24} \\ 0 & 0 & u_{33} & u_{34} \\ 0 & 0 & 0 & u_{44} \end{pmatrix} $$
Nun bestimmst du \( L \cdot U \) und kannst die Einträge vergleichen. Vielleicht ist das für dich auch übersichtlicher.
Grüße Christian
wenn ich das richtig sehe, hast du dich bei der Berechnung der Zeilenstufenform verrechnet. Ich erhalte
$$ \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{-1}{4} & 1 & 0 & 0 \\ \frac{-1}{4} & \frac{-1}{15} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{-4}{15} & \frac{-2}{7} & 1 \end{matrix}\right) $$
Ich weiß nicht ob das für andere auch so ist, aber ich fand es oft hilfreich mir die \( L \) und \( U \) Matrix einmal allgemein aufzuschreiben zu mutliplizieren und einen Koeffizientenvergleich durchzuführen
$$ L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 & 0 \\ l_{41} & l_{42} & l_{43} &1 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & u_{14} \\ 0 & u_{22} & u_{23} & u_{24} \\ 0 & 0 & u_{33} & u_{34} \\ 0 & 0 & 0 & u_{44} \end{pmatrix} $$
Nun bestimmst du \( L \cdot U \) und kannst die Einträge vergleichen. Vielleicht ist das für dich auch übersichtlicher.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Dann hast du die upper-Matrix berechnet?
─
universeller
26.05.2021 um 21:35
Wie meinst du das?
─
christian_strack
27.05.2021 um 11:11
Alles gut, komm mit dem Gauß-Algorithmus auf das selbe Ergebnis.
─
universeller
27.05.2021 um 15:15
ok, klappt dann jetzt alles?
─
christian_strack
27.05.2021 um 15:17
Wäre diese Matrix die U-Matrix und ich musss noch die L-Matrix bestimmen?
─
universeller
27.05.2021 um 15:29
Hab mir mehrere Videos zu diesem Thema angeschaut und dort wurde die Zeilenstufenform immer mit mehreren L-Matrizen erreicht. Was hier bei meinem Beispiel aber nicht möglich war. Wie muss ich hier dann vorgehen, um die L-Matrix zu erhalten?
─
universeller
27.05.2021 um 16:03
Hmm also mit mehreren Matrizen kenne ich das nicht. Hatte das aber auch nur selbst in einer Vorlesung und dann nie wieder.
Ich persönlich kenne 2 Verfahren:
1) Du schreibst wie oben beide Matrizen allgemein auf und berechnest das Produkt
$$ L \cdot U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & u_{14} \\ l_{22}u_{11} & l_{22} u_{12} + u_{22} & l_{22} u_{13} + u_{23} & l_{22} u_{13} + u_{24} \\ & & \ldots & & \end{pmatrix} $$
Dann kannste einen Koeffizientenvergleich machen. Man sieht sofort, das die erste Zeile von \( U \) die erste Zeile von der Matrix selbst ist. Dann kann man daraus in der zweiten Zeile erst \( l_{22} \) bestimmen und dann \( u_{22} \) usw.
Je größer die Matrix wird, desto mehr Schreibarbeit ist das, aber das ist es bei den anderen Methoden eigentlich auch, Fand ich persönlich immer am entspanntesten.
So macht es aber nicht der Algorithmus, denn man in den PC programiert.
2) Man schreibt sich
$$ \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 4 & -1 & -1 & 0\\-1 & 4 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & 4 \end{matrix} \right) $$
Jetzt bringst du Schritt für Schritt die rechte Matrix auf eine obere Dreiecksmatrix. Du müsstest ja hier die erste Zeile mit \( \frac 1 4 \) multiplizieren und die erste Zeile (1) dann zur zweiten (2) addieren. An die Stelle \( l_{21} \) kommt dann der Wert \( - \frac 1 4 \). Also der Wert, mit dem du die erste Zeile multipliziert hast nur mit umgedrehten Vorzeichen. Das gleiche müsstest du mit erster und dritter Zeile machen. Deshalb hätte die Stelle \( l_{31} \) den selben Wert \( - \frac 14 \). Das kannst du ebenfalls Stück für Stück durchgehen und erhälst gleichzeitig beide Matrizen. ─ christian_strack 27.05.2021 um 19:35
Ich persönlich kenne 2 Verfahren:
1) Du schreibst wie oben beide Matrizen allgemein auf und berechnest das Produkt
$$ L \cdot U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & u_{14} \\ l_{22}u_{11} & l_{22} u_{12} + u_{22} & l_{22} u_{13} + u_{23} & l_{22} u_{13} + u_{24} \\ & & \ldots & & \end{pmatrix} $$
Dann kannste einen Koeffizientenvergleich machen. Man sieht sofort, das die erste Zeile von \( U \) die erste Zeile von der Matrix selbst ist. Dann kann man daraus in der zweiten Zeile erst \( l_{22} \) bestimmen und dann \( u_{22} \) usw.
Je größer die Matrix wird, desto mehr Schreibarbeit ist das, aber das ist es bei den anderen Methoden eigentlich auch, Fand ich persönlich immer am entspanntesten.
So macht es aber nicht der Algorithmus, denn man in den PC programiert.
2) Man schreibt sich
$$ \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 4 & -1 & -1 & 0\\-1 & 4 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & 4 \end{matrix} \right) $$
Jetzt bringst du Schritt für Schritt die rechte Matrix auf eine obere Dreiecksmatrix. Du müsstest ja hier die erste Zeile mit \( \frac 1 4 \) multiplizieren und die erste Zeile (1) dann zur zweiten (2) addieren. An die Stelle \( l_{21} \) kommt dann der Wert \( - \frac 1 4 \). Also der Wert, mit dem du die erste Zeile multipliziert hast nur mit umgedrehten Vorzeichen. Das gleiche müsstest du mit erster und dritter Zeile machen. Deshalb hätte die Stelle \( l_{31} \) den selben Wert \( - \frac 14 \). Das kannst du ebenfalls Stück für Stück durchgehen und erhälst gleichzeitig beide Matrizen. ─ christian_strack 27.05.2021 um 19:35
Genau das hätt ich versucht, aber bin schon in der ersten Spalte gescheitert, aufgrund der 0 ganz unten. Gibs da einen Trick oder muss man da Zeilen vertauschen? Meine L-Matrix für die 1. Spalte würde so aussehen:
\(\begin{matrix}1&0&0&0\\\frac{1}{4}&1&0&0\\\frac{1}{4}&0&1&0\\0&0&0&1 \end{matrix}\)
─ universeller 28.05.2021 um 10:49
\(\begin{matrix}1&0&0&0\\\frac{1}{4}&1&0&0\\\frac{1}{4}&0&1&0\\0&0&0&1 \end{matrix}\)
─ universeller 28.05.2021 um 10:49
Wenn ich die mit A multipliziere, hab ich links unten eine Zahl und keine 0, was ja nicht der Fall sein sollte, oder?
─
universeller
28.05.2021 um 13:49
Jetzt hab ich meinen Fehler, hab die Matrix von rechts dran multipliziert... -.- dann sollte es jetzt gehen, danke euch!
─
universeller
28.05.2021 um 14:09
Hast du die L1 Matrix auch ausgerechnet und bekommst da für die A2-Matrix 2 0en in der 2. Spalte? Bekomm da nämlich 2 Brüche und diesmal hätt ich die Matrizen richtig multipliziert.
─
universeller
28.05.2021 um 15:41
Meinte die L2 Matrix. Wenn ich die A2 Matrix mit der Spalte(-1, 15/4, -1/4, -1) mit einer neuen L2 Matrix multipliziere, sollte ich ja 2 0en bekommen. Die 2. Spalte der L2 Matrix sieht so aus (0, 1, 1/4, -1). Bekomm dadurch aber (-1, 15/4, 11/16, -19/4). Hab bei einer anderen Matrix exakt nach dem selben Schema gerechnet und da klappts problemlos. Sehe aber hier meinen Fehler nicht.
─ universeller 28.05.2021 um 21:38
─ universeller 28.05.2021 um 21:38
Dann schau ich mir das nochmal genauer an, danke dir :)
─
universeller
29.05.2021 um 07:55