Vollständige Induktion

Erste Frage Aufrufe: 54     Aktiv: 30.06.2021 um 14:13

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Hallo, ich hätte eine Frage zur Induktion.

Ziel ist es ja zu schauen ob die Formel bis ins unendliche beweisbar ist.
Jedoch kommt ich hier mit dem k, dem i und dem n durcheinander. Wenn man jetzt f(2) hat, lässt man dann die Summe von i=1 bis n=2 laufen? Und welchen Wert hat dann das k? Nimmt man die 2 dann auch für das k, dann gilt für den
Induktionsanfang: f(2) = 2^0 + 2^1 = 3    bzw f(2) = 2*f(1) +1 = 3
Induktionshypothese: Summe_i=1 bis n(k^i-1) = k * f(n-1) + 1  ~>(n+1) 
                                                                                 = k * f(n-1+1) + 1
                                                                                 = k * f(n) + 1
Wie leitet man von da an den Induktionsschritt ein?

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Im Induktionsschritt hast du \(f(n+1)=k\cdot f(n)+1\). Jetzt setzt du für \(f(n)\) die IV ein. Kommst du jetzt weiter? PS: \(k\) ist eine Konstante (siehe Aufgabenstellung!)
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Was ist mit IV genau gemeint?

Ich hätte mir jetzt noch überlegt:
Sum_i=1 bis n+1 (k^(i-1) = k*f(n)+1 =
Sum_i=1 bis n (k^i + 1) = k*f(n)+1

So würde auf beiden Seiten jeweils immer eine ungerade Zahl rauskommen.
Bin mir jedoch unsicher ob man das Überhaupt so machen kann :D
Und wie kann man hier Formeln einfügen? Dann kann ich es evtl. bisschen übersichtlicher machen
  ─   anonym0002 30.06.2021 um 13:41

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Mit IV meine ich die Induktionsvorrausetzung (Hypothese). Nach Einsetzen in meine Gleichung kommt man dann auf $$f(n+1)=k\cdot \sum_{i=1}^n(k^{i-1})+1=\sum_{i=1}^n(k^i)+1$$Jetzt nur noch Indexshift (letzter Tipp) und du bist fertig!   ─   mathejean 30.06.2021 um 13:57

Ah okay, jetzt hab ich's verstanden.
Vielen Dank!! :P
  ─   anonym0002 30.06.2021 um 14:13

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