Graph von arccos(cosx) für x [-2Pi,2Pi] erklärt

Erste Frage Aufrufe: 264     Aktiv: 04.10.2023 um 20:50

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Wie kommt diese Funktion zustande? Bitte ausführliche Begründung
->arccos(cosx)
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Es gilt $\arccos (\cos(x))=x$ für $x\in [0; \pi] $ und $\arccos(\cos(x) )=2\pi-x$ für $x\in [\pi;2\pi]$. Der Rest ergibt sich aus der Periodizität vom Cosinus.

Die zweite Gleichung ergibt sich, weil $\cos(2\pi-x)=\cos(x)$ und die Bildmenge vom Arkuskosinus nur $[0;\pi] $ ist, weshalb $\arccos(\cos(x)) $ keine Werte größer $\pi$ liefert, falls $x>\pi$.
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@cauchy starke Antwort! Schön das ich auch hier im Forum immer wieder was dazulerne, danke dafür.😅   ─   maqu 04.10.2023 um 20:48

Das freut mich zu hören. :)   ─   cauchy 04.10.2023 um 20:49

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Man sollte meinen, dass arccos die Umkehrfunktion von cos ist, und dass deswegen \(\arccos(\cos x)=x\) für alle x. Stimmt aber nicht!

Sei \(\cos_{|[0,pi]}\) der cos, eingeschränkt auf das Intervall \([0,\pi]\). Von dieser eingeschränkten Funktion ist arccos die Umkehrfunktion.
Drum ist \(\arccos(\cos x)=x\) nur für \(x\in [0,\pi]\). Das erklärt den Funktionsgraphen für \(x\in [0,\pi]\).
Bekanntermaßen ist \(\cos(x)=\cos(-x)\). Daraus folgt:  \(\arccos(\cos(x))=\arccos(\cos(-x))\).
Also ergibt sich der Funktionsgraph für \(x\in [-\pi,0]\) durch Spiegelung des Funktionsgraph für \(x\in[0,\pi]\) an an der y-Achse.
Insgesamt bildet der Funktionsgraph für \(x\in[-\pi,\pi]\) daher ein "spitzes Tal".
Dieses "spitzes Tal" wiederholt sich immer wieder, denn \(\arccos(\cos x)\) ist \(2\pi\)-periodisch, denn der cos ist \(2\pi\)-periodisch ist.
So kommt der Funktionsgraph zustande.
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