Wegzusammenhängend

Aufrufe: 472     Aktiv: 30.09.2020 um 15:25
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Hallo zusammen, ich habe in der Topologievorlesung folgenden Satz gesehen:

Sei \( f:X -> Y \) eine stetige Abbildung zwischen zwei top. Räumen.
Es gilt: X wegzusammenhängend \( \Rightarrow \) Y wegzusammenhängend

Kann mir jemand ein Beispiel nennen, bei dem die Umkehrung des obigen Satzes nicht gilt?

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Hallo Jenny

Es gibt (vielleicht hattet Ihr das ja schon) den Satz:

"Stetige Bilder zusammenhängender Mengen sind zusammenhängend."

Mit diesem Satz folgt also die Implikation, dass Y zusammenhängend sein muss. Nun hat nicht jede stetige Funktion a priori eine Umkehrabbildung oder eine stetige Umkehrabbildung, also kannst du im Allgemeinen nichts über den Zusammenhnag des Urbildes sagen.

Bei einem Diffeomorphismus wäre Äquivalenz der Fall.

 

Gruss Michael

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