Totale Variation mit mehreren Variablen (Mehrfeldproblem)

Erste Frage Aufrufe: 376     Aktiv: 05.03.2021 um 10:46
0
Hallo liebe Community,

Ich habe bereits etwas im Internet gesucht, z.B. auf der englischen Wikipediaseite (total variation) oder auch in den Büchern Parisch (Festkörper-Kontinuumsmechanik) und Holzapfel (Nonlinear Solid Mechanics). Das Vorgehen ist mir allerdings noch nicht 100% klar geworden. Schonmal im Voraus sorry, ich habe den Formeleditor nicht gefunden... :(

Angenommen ich habe eine Gleichung, die mehrere Variablen enthält:
P(a,b,c) = f(a,c) + g(b,c) + h(a) + j(b)

Bei einem Einfeldproblem würde ich ja nun nur mit einer Variablen variieren. Das würde dann so aussehen: Die Gleichung wird mit der entsprechenden Testfunktion multipliziert und anschließend über das Volumen integriert.

Analog würde die totale Variation nach meinem Verständnis dann so aussehen, wobei del() die Testfunktionen sind und Int[] die Volumenintegrale:
Int [ P(a,b,c) * del(a) ] dV + Int [ P(a,b,c) * del(b) ] dV + Int [ P(a,b,c) * del(c) ] dV = 0

Was für mich noch unklar ist:
Was passiert, wenn man einen Term bezüglich einer Variablen variiert, von der dieser unabhängig ist?
Habe ich Etwas übersehen, einen Schritt übersprungen, z.B. eine Ableitung?

Edit: Hinzufügen einer zusätzlichen Teilfrage aus einem Kommentar
Was passiert denn mit einem Term, der von der gefragten Variablen abhängig ist? Wird er zuerst nach dieser Variablen abgeleitet und dann mit der Testfunktion multipliziert? Oder nicht abgeleitet?

Der Grund für meine (zusätzliche) Frage ist folgender:
Ich habe ein Funktional P(u,p):
P(u,p) = Int [ f(u) + p*( J(u) -1 ) ] dV
Die Variation in Bezug auf p ergibt:
Int [ ( J(u) - 1 ) del(p) ] dV = 0
Im Ergebnis fehlt das p, daher habe ich geschlussfolgert, dass zuerst abgeleitet wird?

Vielen Dank!
Becky
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 12

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Q: Was für mich noch unklar ist: Was passiert, wenn man einen Term bezüglich einer Variablen variiert, von der dieser unabhängig ist? Habe ich Etwas übersehen, einen Schritt übersprungen, z.B. eine Ableitung

A: um auf den ersten Teil deiner Frage zu antworten "was passiert wenn man einen Term bezüglich einer Variablen variiert, von der dieser unabhängig ist?" kannst du dir ja mal überlegen was passieren würde wenn du eine konstante Funktion hättest f(x)=1 und diese jetzt bezüglich x variierst
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 40

 
Danke für deine schnelle Rückmeldung!
Ich würde sagen, sie bleibt konstant. Aber ich habe auch schon irgendwo gesehen, dass der Term wegfällt, das wäre eher mit einer Ableitung zu vergleichen. Daher habe ich gefragt. Es ist mir nicht klar.   ─   becky 04.03.2021 um 12:51
1
Richtig diese Terme fallen auch weg weil sie nicht variabel in der gefragten Variable sind, das hast du ja auch erkannt indem du die Vermutung aufstellst, dass sie zumindest konstant bleiben sollten.   ─   meersalzbutter 04.03.2021 um 13:05
Danke!
Darf ich dann nochmal nachhaken: Was passiert denn mit einem Term, der von der gefragten Variablen abhängig ist? Wird er zuerst nach dieser Variablen abgeleitet und dann mit der Testfunktion multipliziert? Oder nicht abgeleitet?

Der Grund für meine (zusätzliche) Frage ist folgender:
Ich habe ein Funktional P(u,p):
P(u,p) = Int [ f(u) + p*( J(u) -1 ) ] dV
Die Variation in Bezug auf p ergibt:
Int [ ( J(u) - 1 ) del(p) ] dV = 0
Im Ergebnis fehlt das p, daher habe ich geschlussfolgert, dass zuerst abgeleitet wird?   ─   becky 04.03.2021 um 13:22
1
So würde ich das auch sehen da ja nicht nur das p sondern auch f(u) fehlt, ich kenne aus der Physik zum Beispiel die totale Variation einer Funktion f(x) als Int[ grad*f(x)] also als integral über den gradienten der Funktion (der Gradient ist eben die partielle Ableitung nach den Variablen)   ─   meersalzbutter 04.03.2021 um 13:36
Könntest du mir da vielleicht noch eine Literaturquelle (z.B. Lehrbuch) empfehlen? In meinem "Mathematik für Ingenieure" wird das nicht thematisiert.   ─   becky 05.03.2021 um 10:46

Kommentar schreiben